Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 48-57. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-48-57

УДК 517.925.4

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Б. И. Эфендиев

Институт прикладной математики и автоматизации – филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр РАН 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А

E-mail: beslan_efendiev@mail.ru

В работе исследуется линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с оператором непрерывно распределенного дифференцирования, и для него изучается двухточечная краевая задача методом функции Грина. Вводится в рассмотрение специальная функция, в терминах которой строится функция Грина задачи Дирехле и доказываются основные свойства. Определены достаточные условия на ядро оператора непрерывно распределенного дифференцирования, гарантирующие выполнения условия разрешимости задачи Дирихле. В случае, когда однородная задача Дирихле для рассматриваемого однородного уравнения имеет нетривиальное решение получено неравенство типа Ляпунова для ядра оператора непрерывно распределенного дифференцирования.

Ключевые слова: оператор дробного интегродифференцирования, оператор непрерывно распределенного дифференцирования, задача Дирихле, неравенство типа Ляпунова.

© Эфендиев Б. И., 2019

MSC 34L99

THE DIRICHLET PROBLEM FOR AN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION OF THE SECOND ORDER WITH THE OPERATOR OF DISTRIBUTED DIFFERENTIATION

B. I. Efendiev

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89 A, Russia

E-mail: beslan_efendiev@mail.ru

In this paper, we study a linear ordinary differential equation of the second order with operator of continuously distributed differentiation, and for him we study the two-point boundary value problem by the Green’s function method. A special function is introduced, in terms of which the Green function of the Direchle problem is constructed and the main properties are proved. Sufficient conditions on the kernel of the operator of continuously distributed differentiation are determined that guarantee the fulfillment of the solvability condition for the Dirichlet problem. In the case when the homogeneous Dirichlet problem for the homogeneous equation under consideration has a nontrivial solution, an analog of the Lyapunov inequality is obtained for the kernel of a continuously distributed ifferentiation operator.

Key words: fractional integro-differentiation operator, operator of continuously distributed differentiation, fundamental solution, Cauchy problem, Dirichlet problem, analog of Lyapunov’s inequality

Список литературы/References

  1. Нахушев А. М., “О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах”, Докл. АН СССР, 300:4. (1988), 796–799. [ “O nepreryvnykh differentsial’nykh uravneniyakh i ikh raznostnykh analogakh”, Dokl. AN SSSR, 300:4. (1988), 796–799, (in Russian)].
  2. Нахушев А. М., “О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа”, Дифференц. уравнения, 34:1 (1998), 101–109. [Nakhushev A. M., “O polozhitel’nosti operatorov nepreryvnogo i diskretnogo differentsirovaniya i integrirovaniya ves’ma vazhnykh v drobnom ischislenii i v teorii uravneniy smeshannogo tipa”, Differents. uravneniya, 34:1 (1998), 101–109, (in Russian)].
  3. Псху А. В., “К теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка”, Дифференц. уравнения, 40:1 (2004), 120–127. [Pskhu A.V., “K teorii operatora integrodifferentsirovaniya kontinual’nogo poryadka”, Differents. uravneniya, 40:1 (2004), 120-127, (in Russian)].
  4. Kochubei A. N., “Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion”, J. Math. Anal. Appl., 2008, №340, 252-281.
  5. Fedorov V. E., Streletskaya E. M., “Initial-value Problems for Linear Distributed-order Differential Equations in Banach Spaces”, Electronic Journal of Differential Equations, 2018, №176, 1-17.
  6. Efendiyev B. I., “Zadacha Koshi dlya obyknovennogo differentsial’nogo uravneniya vtorogo poryadka s kontinual’noy proizvodnoy”, Differents. uravneniya, 47:9 (2011), 1364–1368, (in Russian).
  7. Эфендиев Б. И., “Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной”, Мат. заметки, 97:4 (2015), 620–628. [Efendiyev B. I., “Zadacha Dirikhle dlya obyknovennogo differentsial’nogo uravneniya vtorogo poryadka s kontinual’noy proizvodnoy”, Mat. zametki, 97:4 (2015), 620–628, (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

  1. Нахушев А. М. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, №4. С. 796–799.
  2. Нахушев А. М. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №1. С. 101–109.
  3. Псху А. В. К теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, №1. С. 120–127.
  4. Kochubei A. N. Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion // J. Math. Anal. Appl. 2008. vol. 340. 252-281.
  5. Fedorov V. E., Streletskaya E. M. Initial-value Problems for Linear Distributed-order Differential Equations in Banach Spaces // Electronic Journal of Differential Equations. 2018. №176. pp. 1-17.
  6. Эфендиев Б. И. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. №9. С. 1364–1368.
  7. Эфендиев Б. И. Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной // Мат. заметки. 2015. Т. 97. №4. С. 620–628.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 20.11.2019

© Efendiev B. I., 2019

Для цитирования: Эфендиев Б. И. Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с оператором распределенного дифференцирования // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 41-47. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-48-57
For citation: Efendiev B. I. The Dirichlet problem for an ordinary differential equation of the second order with the operator of disributed differentiation // Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 29: 4, 41-47. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-48-57

Эфендиев Беслан Игорьевич – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела Дробного исчисления, Институт прикладной математики и автоматизации, Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, Россия.
Efendiev Beslan Igorevich – Ph.D. (Phys. & Math.), Senior researcher of the Department of the Fractional calculus, Institute of Applied Mathematics and Automation, Nalchik, Russia.

 

Читать статью/Read articleСкачать/Download