Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 31. № 2. C. 18-31. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска/Contents of this issue

Научная статья

УДК 517.95+517.956.6

Обратная задача для смешанного нагруженного уравнения с оператором Римана-Лиувилля в прямоугольной области

У.Ш. Убайдуллаев

Национальный Университет Узбекистана им. М. Улугбека, Узбекистан, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская, 4.

E-mail: ulugbekuz88@mail.ru

В данной работе изучается обратная задача для смешанного нагруженного уравнения с оператором Римана-Лиувилля в прямоугольной области. Установлен критерий единственности. Построено решение задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи. Доказано, что однозначная разрешимость обратной задачи существенным образом зависит от выбора границы прямоугольной области. Построен пример, в котором обратная задача с однородными условиями имеет нетривиальное решение. Получены оценки, позволяющие обоснование сходимости рядов в классе регулярных решений данного уравнения и устойчивость решения обратной задачи от граничных данных.

Ключевые слова: нагруженное уравнение, оператор Римана-Лиувилля, обратная задача, критерий единственности, существование, малые знаменатели, устойчивость.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-31-2-18-31

Поступила в редакцию: 30.05.2020

В окончательном варианте: 14.06.2020

Для цитирования. Убайдуллаев У. Ш. Обратная задача для смешанного нагруженного уравнения с оператором Римана-Лиувилля в прямоугольной области // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 31. № 2. C. 18-31. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-31-2-18-31

Конкурирующие интересы. Авторы заявляют, что конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответсвенность. Все авторы участвовали в написании статьи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Убайдуллаев У. Ш., 2020

Список литературы (ГОСТ)

1. Lundstrom B.N., Higgs M.H., Spain W.J. Fairhall A.L. Fractional differentiation by neocortical pyramidal neurons // Nature Neuroscience. 2018. vol. 11. pp. 1335–1342.
2. Scalas E. The application of continuos-time random walks in finance and economics // Physica. 2006. vol. 362. no. 2. pp. 225–239.
3. Monje, Conception A. Fundamentals and Applications Springer. 2010. ISBN: 978–1849–963–350.
4. Джарбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задачи Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв.АН Арм ССР. Математика. 1968. Т. 1. №3. С.3–28.
5. Джарбашян М.М. Интегральные преобразования и преставления функций в комплексной области. М.: 1966.
6. Gorenflo R., Luchko Y.F., Umarov S.R. On the Cauchy and multipoint problems for partial pseudo-differential equations of fractional order // Fract. Calc. and Appl. Anal. 2000. no. 3. pp. 249–275.
7. Kilbas A.A., Marzan S.A. Cauchy problem for differential equation with Caputo derivative // Fract. Cale. Appl. Anal. 2004. vol. 3. no. 7. pp. 297–321.
8. Псху А. В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. Нальчик, 2005.
9. Turmetov B., Nazarova K. On Fractional Analogs of Dirichlet and Neumann Problems for the Laplace Equation // Mediterranean Journal of Mathematics. 2019. https://doi.org/10.1007/s00009-019-1347-5
10. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Доклады РАН. 2007. Т. 413. №1. С. 23-26.
11. Сабитов К.Б. Краевая задача для уравнений смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 5. С. 705–713.
12. Сабитов К. Б., Сафин Э. М. Обратная задача для уравнения смешанного парабологиперболического типа // Матем. заметки. 2010. Т. 87. № 6. С. 907–918. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm6577.
13. Сабитов К. Б., Мартемьянова Н. В. Обратная задача для уравнения Лаврентьева–Бицадзе, связанная с поиском элементов правой части // Изв. вузов. Матем. 2017. №. 2. С. 44–57. https://doi.org/10.1134/S0037446612020310.
14. Karimov E.T˙.,  Akhatov J. S. A boundary problem with integral gluing condition for a parabolic-hyperbolic equation involving the Caputo fractional derivative // Electronic Journal of Differential Equations. 2014. vol. 14. pp. 1–6.
15. Исломов Б. И., Убайдуллаев У. Ш. Краевая задача для уравнения параболо — гиперболического типа с оператором дробного порядка в смысле Капуто в прямоугольной области // Научный вестник. Математика. 2017. №5. С. 25–30.
16. Самко С. Г., Кильбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и Техника, 1987.
17. Моисеев Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной задачи // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. №8. С. 1094–1100.

Research Article

MSC 35M10, 35M20

The inverse problem for a mixed loaded equation with the Riemann-Liouville operator in a rectangular domain

U.Sh. Ubaydullayev

National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek, 100174, University Street, 4. Tashkent, Uzbekistan

E-mail: ulugbekuz88@mail.ru

In this paper, we study the inverse problem for a mixed loaded equation with the Riemann-Liouville and Caputo operator in a rectangular domain. A criterion for the uniqueness and existence of a solution to the inverse problem is established. The solution of the problem is constructed in the form of the sum of a series of eigenfunctions of the corresponding one-dimensional spectral problem. It is proved that the unique solvability of the inverse problem substantially depends on the choice of the boundary of a rectangular region. An example is constructed in which the inverse problem with homogeneous conditions has a nontrivial solution. Estimates are obtained that allow substantiating the convergence of series in the class of regular solutions of this equation and the stability of the solution of the inverse problem from boundary data.

Key words: loaded equation, Riemann-Liouville operator, inverse problem, uniqueness criterion and existence, small denominators, sustainability.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-31-2-18-31

Original article submitted: 30.05.2020

Revision submitted: 14.06.2020

For citation. Ubaydullayev U. Sh. The inverse problem for a mixed loaded equation with the Riemann-Liouville operator in a rectangular domain. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020, 31: 2, 18-31. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-31-2-18-31

Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.
Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Ubaydullayev U. Sh., 2020

Список литературы/References

1. Lundstrom B. N., Higgs M. H., Spain W. J. Fairhall A. L., “Fractional differentiation by neocortical pyramidal neurons”, Nature Neuroscience, 11 (2018), 1335–1342.
2. Scalas E., “The application of continuos-time random walks in finance and economics”, Physica, 362:2 (2006), 225–239.
3. Monje, Conception A. Fundamentals and Applications, Springer, 2010.
4. Джарбашян М. М., Нерсесян А. Б., “Дробные производные и задачи Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка”, Изв.АН Арм ССР. Математика, 1:3 (1968), 3–28. [Dzharbashyan M. M., Nersesyan A. B., “Drobnyye proizvodnyye i zadachi Koshi dlya differentsial’nykh uravneniy drobnogo poryadka”, Izv.AN Arm SSR. Matematika, 1:3 (1968), 3–28].
5. Джарбашян М. М., Интегральные преобразования и преставления функций в комплексной области, М., 1966 [Dzharbashyan M. M., Integral’nyye preobrazovaniya i prestavleniya funktsiy v kompleksnoy oblasti, M., 1966].
6. Gorenflo R., Luchko Y.F., Umarov S. R., “On the Cauchy and multipoint problems for partial pseudo-differential equations of fractional order”, Fract. Calc. and Appl. Anal., 2000, №3, 249–275.
7. Kilbas A. A., Marzan S. A., “Cauchy problem for differential equation with Caputo derivative”, Fract. Cale. Appl. Anal., 3:7 (2004), 297–321.
8. Псху А. В., Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка, Нальчик, 2005. [Pskhu A.V., Krayevyye zadachi dlya differentsial’nykh uravneniy s chastnymi proizvodnymi drobnogo i kontinual’nogo poryadka, Nal’chik, 2005].
9. Turmetov B., Nazarova K., “On Fractional Analogs of Dirichlet and Neumann Problems for the Laplace Equation”, Mediterranean Journal of Mathematics, 2019 https://doi.org/10.1007/s00009-019-1347-5.
10. Сабитов К. Б., “Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области”, Доклады РАН, 413:1 (2007), 23-26.
11. Сабитов К. Б., “Краевая задача для уравнений смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области”, Дифференциальные уравнения, 47:5 (2011), 705–713. [Sabitov K. B., “Krayevaya zadacha dlya uravneniy smeshannogo tipa tret’yego poryadka v pryamougol’noy oblasti”, Differentsial’nyye uravneniya, 47:5 (2011), 705–713].
12. Сабитов К. Б., Сафин Э. М., “Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа”, Матем. заметки, 87:6 (2010), 907–918 https://doi.org/10.4213/mzm6577. [Sabitov K. B., Safin E. M., “Obratnaya zadacha dlya uravneniya smeshannogo parabolo-giperbolicheskogo tipa”, Matem. zametki, 87:6 (2010),
    907–918 https://doi.org/10.4213/mzm6577].
13. Сабитов К. Б., Мартемьянова Н. В., “Обратная задача для уравнения Лаврентьева–Бицадзе, связанная с поиском элементов правой части”, Изв. вузов. Матем, 2017, №2, 44–57 https://doi.org/10.1134/S0037446612020310. [Sabitov K.B., Martem’yanova, N.V., “The inverse problem for the Lavrent’ev–Bitsadze equation connected with the search of elements in the right-hand side”, Russ Math., 61 (2017), 36–48 https://doi.org/10.3103/S1066369X17020050].
14. Karimov E.T˙ ., Akhatov J. S., “A boundary problem with integral gluing condition for a parabolic-hyperbolic equation involving the Caputo fractional derivative”, Electronic Journal of Differential Equations, 14 (2014), 1–6.
15. Исломов Б. И., Убайдуллаев У. Ш., “Краевая задача для уравнения параболо — гиперболического типа с оператором дробного порядка в смысле Капуто в прямоугольной области”, Научный вестник. Математика, 2017, №5, 25–30. [Islomov B. I., Ubaydullayev U. SH., “Krayevaya zadacha dlya uravneniya parabolo -giperbolicheskogo tipa s operatorom drobnogo poryadka v smysle Kaputo v pryamougol’noy oblasti”, Nauchnyy vestnik. Matematika, 2017, №5, 25–30].
16. Самко С. Г., Кильбас А. А., Маричев О. И., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и Техника, Минск, 1987. [Samko S. G., Kil’bas A. A., Marichev O. I., Integraly i proizvodnyye drobnogo poryadka i nekotoryye ikh prilozheniya, Nauka i Tekhnika, Minsk, 1987].
17. Моисеев Е. И., “О решении спектральным методом одной нелокальной задачи”, Дифференциальные уравнения, 35:8 (1999), 1094–1100. [Moiseyev Ye. I., “O reshenii spektral’nym metodom odnoy nelokal’noy zadachi”, Differentsial’nyye uravneniya, 35:8 (1999), 1094–1100].

---