Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. C. 32-39. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-32-39

УДК 517.927

НЕРАВЕНСТВО ЛЯПУНОВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С РАЗЛИЧНЫМИ НАЧАЛАМИ

Л. М. Энеева

Институт прикладной математики и автоматизации – филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр РАН» , 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А

E-mail: eneeva72@list.ru

В работе рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение дробного порядка, содержащее композицию дробных производных с различными началами, являющееся модельным уравнением движения во фрактальной среде. Для рассматриваемого уравнения найдено необходимое условие существования нетривиального решения однородной задачи Дирихле. Условие имеет форму интегральной оценки для потенциала и является аналогом неравенства Ляпунова.

Ключевые слова: дробная производная Римана-Лиувилля, дробная производная Капуто, задача Дирихле, неравенство Ляпунова.

©Энеева Л. М., 2019

MSC 26A33

LYAPUNOV INEQUALITY FOR AN EQUATION WITH FRACTIONAL DERIVATIVES WITH DIFFERENT ORIGINS

L. M. Eneeva

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89 A, Russia

E-mail: eneeva72@list.ru

We consider an ordinary differential equation of fractional order with the composition of left- and right-sided fractional derivatives, which is a model equation of motion in fractal media. We find a necessary condition for existence of nontrivial solution of homogeneous Dirichlet problem for the equation under consideration. The condition has the form of integral estimate for the potential and is an analog of Lyapunov inequality.

Key words: Riemann-Liouville fractional derivative, Caputo fractional derivative, Dirichlet problem, Lyapunov inequality

©Eneeva L. M., 2019

Список литературы/References

  1. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nakhushev A. M., Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye, Fizmatlit, Moskva, 2003, 272 pp.]
  2. Рехвиашвили С. Ш., “К определению физического смысла дробного интегро-дифференцирования”, Нелинейный мир, 5:4 (2007), 194–197. [Rekhviashvili S. SH., “K opredeleniyu fizicheskogo smysla drobnogo integro-differentsirovaniya”, Nelineynyy mir, 5:4 (2007), 194–197].
  3. Рехвиашвили С. Ш., “Формализм Лагранжа с дробной производной в задачах механики”, Письма в ЖТФ, 30:2 (2004), 33–37. [Rekhviashvili S. SH., “Formalizm Lagranzha s drobnoy proizvodnoy v zadachakh mekhaniki”, Pis’ma v ZHTF, 30:2 (2004), 33–37].
  4. Энеева Л. М., “Краевая задача для дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами”, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 3:2(11) (2015), 39–44. [Eneyeva L. M., “Krayevaya zadacha dlya differentsial’nogo uravneniya s proizvodnymi drobnogo poryadka s razlichnymi nachalami”, Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 3:2(11) (2015), 39–44].
  5. Энеева Л. М., “Оценка первого собственного значения задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами”, Известия КБНЦ РАН, 2017, № 1(75), 34–40. [Eneyeva L. M., “Otsenka pervogo sobstvennogo znacheniya zadachi Dirikhle dlya obyknovennogo differentsial’nogo uravneniya s proizvodnymi drobnogo poryadka s razlichnymi nachalami”, Izvestiya KBNTS RAN, 2017, № 1(75), 34–40].
  6. Энеева Л. М., “О задаче Неймана для уравнения с дробными производными с различными началами”, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2018, № 4(24), 61–65. [Eneyeva L. M., “O zadache Neymana dlya uravneniya s drobnymi proizvodnymi s razlichnymi nachalami”, Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 2018, № 4(24), 61–65].
  7. Stankovic´ B., “An equation with left and right fractional derivatives”, Publications de l’institut math ematique. Nouvelle serie,, 80(94) (2006), 259–272.
  8. Atanackovic T. M., Stankovic B., “On a differential equation with left and right fractional derivatives”, Fractional Calculus and Applied Analysis, 10:2 (2007), 139–150.
  9. Torres C., “Existence of a solution for the fractional forced pendulum”, Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics, 13:1 (2014), 125–142.
  10. Tokmagambetov N., Torebek B. T., “Fractional Analogue of Sturm-Liouville Operator”, Documenta Mathematica, 21 (2016), 1503–1514.
  11. Ляпуновъ А. М., “Объ одномъ вопросе, касающемся линейныхъ дифференцiальныхъ уравненiй второго порядка съ перiодическими коэффицiентами”, Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер., 5 (1897), 190–254. [Lyapunov»A.M., “Ob»odnom»voprose, kasayushchemsya lineynykh»differentsial’nykh»uravneniy vtorogo poryadka s»periodicheskimi koeffitsientami”, Soobshch. Khar’kov. matem. obshch. Vtoraya ser., 5 (1897), 190–254].
  12. Brown R. C., Hinton D. B., “Lyapunov Inequalities and their Applications”, In: Survey on Classical Inequalities. Mathematics and Its Applications, 517, Springer, Dordrecht, 2000.
  13. Ferreira R.A.C., “A Lyapunov-type inequality for a fractional boundary value problem”, Fract. Calc. Appl. Anal., 16:4 (2013), 978–984.

Список литературы (ГОСТ)

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 c.
  2. Рехвиашвили С. Ш. К определению физического смысла дробного интегро-дифференцирования // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. №4. С. 194–197.
  3. Рехвиашвили С. Ш. Формализм Лагранжа с дробной производной в задачах механики // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. №2. С. 33–37.
  4. Энеева Л. М. Краевая задача для дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. №2(11). С. 39–44.
  5. Энеева Л. М. Оценка первого собственного значения задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Известия КБНЦ РАН. 2017. №1(75). С. 34–40.
  6. Энеева Л. М. О задаче Неймана для уравнения с дробными производными с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. №4(24). С. 61–65.
  7. Stankovic´ B. An equation with left and right fractional derivatives // Publications de l’institut math ematique. Nouvelle serie. 2006. vol. 80(94). pp. 259–272.
  8. Atanackovic T. M., Stankovic B. On a differential equation with left and right fractional derivatives // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2007. vol. 10. №2. pp. 139–150.
  9. Torres C. Existence of a solution for the fractional forced pendulum // Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics. 2014. vol. 13. no. 1. pp. 125–142.
  10. Tokmagambetov N., Torebek B. T. Fractional Analogue of Sturm-Liouville Operator // Documenta Mathematica. 2016. vol. 21. pp. 1503–1514.
  11. Ляпуновъ А. М. Объ одномъ вопросе, касающемся линейныхъ дифференцiальныхъ уравненiй второго порядка съ перiодическими коэффицiентами // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. 1987. Т.5. С. 190–254
  12. Brown R. C., Hinton D. B. Lyapunov Inequalities and their Applications. In: Survey on Classical Inequalities. Mathematics and Its Applications. vol. 517. Dordrecht: Springer, 2000.
  13. Ferreira R.A.C. A Lyapunov-type inequality for a fractional boundary value problem // Fract. Calc. Appl. Anal. vol. 16. no. 4. 2013. pp. 978–984.

Для цитирования: Энеева Л. М. Неравенство Ляпунова для уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. C. 32-39. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-32-39
For citation: Eneeva L. M. Lyapunov inequality for an equation with fractional derivatives with different origins, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 28: 3, 32-39. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-32-39

Поступила в редакцию / Original article submitted: 04.07.2019


Энеева Лиана Магометовна – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела моделирования геофизических процессов Института прикладной математики и автоматизации, республика Кабардино-Балкария, г. Нальчик, Россия.
Eneeva Liana Magometovna – Ph.D. (Phys. & Math.), Senior Researcher, Department of Modeling Geophysical Processes, Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkaria, Nalchik, Russia.