Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. C. 16-25. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-16-25

УДК 517.91

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

М. Г. Мажгихова

Институт прикладной математики и автоматизации – филиал федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино — Балкарский научный центр РАН», 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А

E-mail: mazhgihova.madina@yandex.ru

В работе доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи со смещением для дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом. Решение задачи выписано в терминах функции Грина. Получено условие однозначной разрешимости и показано, что оно может нарушаться только конечное число раз.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение дробного порядка, дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом, функция Грина, обобщенная функция Миттаг-Леффлера, обобщенная функция Райта.

©М. Г. Мажгихова, 2019

MSC 34L99

BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH SHIFT FOR A FRACTIONAL ORDER DELAY DIFFERENTIAL EQUATION

M. G. Mazhgikhova

Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardino-Balkar Scientific Center of RAS, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia

E-mail: mazhgihova.madina@yandex.ru

In this paper we prove existence and uniqueness theorem to a boundary value problem with shift for a fractional order ordinary delay differential equation. The solution of the problem is written out in terms of the Green function. We find an explicit representation for solvability condition and show that it may only be violated a finite number of times.

Key words: fractional differential equation, delay differential equation, Green function, generalized Mittag-Leffler function, generalized Wright function.

©Mazhgikhova M. G., 2019

Список литературы/References

  1. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, Москва, 2003, 272 с. [Nakhushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, Moskva, 2003, 272 pp., (in Russian)].
  2. Barrett J. H., “Differential equation of non-integer order”, Canad. J. Math., 6:4 (1954), 529–541.
  3. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б., “Дробные производные и задачи Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка”, Изв. АН АрмССР, 3:1 (1968), 3–28. [Dzhrbashyan M. M., Nersesyan A. B., “Drobnye proizvodnye i zadachi Koshi dlya differentsial’nykh uravneniy drobnogo poryadka”, Izv. AN ArmSSR, 3:1 (1968), 3–28, (in Russian)].
  4. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J., Theory and Applications of Factional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, 2006, 523 pp.
  5. Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, Москва, 2005, 199 с. [Pskhu A. V., Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka, Nauka, Moskva, 2005, 199 pp., (in Russian)].
  6. Oldham K. B., Spanier J., The fractional calculus, Acad. press., N.-Y. L., 1974, 234 pp.
  7. Bellman R. E., Cooke K. L., Differential-Difference Equations, Acad. Press., New York. London., 1963, 462 pp.
  8. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б., Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, Наука, Москва, 1971, 296 с. [El’sgol’ts L. E., Vvedenie v teoriyu differentsial’nykh uravneniy s otklonyayushchimsya argumentom, Nauka, Moskva, 1971, (in Russian)].
  9. Мышкис А.Д., Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, Наука, Москва, 1972, 351 с. [Myshkis A. D., Lineynye differentsial’nye uravneniya s zapazdyvayushchim argumentom, Nauka, Moskva, 1972, 351 pp., (in Russian)].
  10. Hale J. K, Lunel S. M. V., Introduction to Functional Differential Equations, Springer, New York. London., 1993, 449 pp.
  11. Норкин С. Б., “О решениях линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом”, УМН, 14.1:85 (1959), 199–
    206. [Norkin S. B., “O resheniyakh lineynogo odnorodnogo differentsial’nogo uravneniya vtorogo poryadka s zapazdyvayushchim argumentom”, UMN, 14.1:85 (1959), 199–206, (in Russian)].
  12. Мажгихова М. Г., “Начальная и краевая задачи для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом”, Челябинский Физико-Математический Журнал, 3:1 (2018), 27–37. [Mazhgikhova M. G., “Initial and boundary value problems for ordinary differential equation of fractional order with delay”, Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 3:1 (2018), 27–37, (in Russian)].
  13. Mazhgikhova M. G., “Diarichlet problem for a fractional-order ordinary differential equation with retarded argument”, Differential equations, 54:2 (2018), 187–194.
  14. Мажгихова М. Г., “Задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом”, Известия КБНЦ РАН, 70:2 (2018), 15–20. [Mazhgikhova M. G., “Zadacha Neymana dlya obyknovennogo differentsial’nogo uravneniya drobnogo poryadka s zapazdyvayushchim argumentom”, Izvestiya KBNTs RAN, 70:2 (2018), 15–20, (in Russian)].
  15. Pskhu A. V., “Initial-value problem for a linear ordinary differential equation of noninteger order”, Sbornik: Mathematics, 202:4 (2011), 571–582.
  16. Bogatyreva F. T., “Boundary value problem with shift for an ordinary differential equation with the Dzhrbashyan-Nersesyan fractional differentiation operator”, Differential equations, 50:2 (2014), 162–168.
  17. Гадзова Л. Х., “Краевая задача со смещением для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дискретно распределенного дифференцирования”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 149 (2018), 25–30. [Gadzova L. Kh., “Kraevaya zadacha so smeshcheniem dlya lineynogo obyknovennogo differentsial’nogo uravneniya s operatorom diskretno raspredelennogo differentsirovaniya”, Itogi nauki i tekhn. Ser. Sovrem. mat. i ee pril. Temat. obz., 149 (2018), 25–30, (in Russian)].
  18. Prabhakar T. R., “A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel”, Yokohama Math. J., 19 (1971), 7–15.
  19. Shukla A. K., Prajapati J. C., “On a generalization of Mittag-Leffler function and its properties”, J. Math. Anal. Appl., 336 (2007), 797–811.
  20. Wright E. M., “The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function”, J. London Math. Soc., 10 (1935), 286–293.
  21. Wright E. M., “The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function”, Proc. London Math. Soc., 46:2 (1940), 389–408.

Список литературы (ГОСТ)

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 c.
  2. Barrett J. H. Differential equation of non-integer order // Canad. J. Math. 1954. vol 6. no. 4. pp. 529–541.
  3. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б. Дробные производные и задачи Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН АрмССР. 1968. Т. 3. №1. С. 3–28.
  4. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Factional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.
  5. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 c.
  6. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus. N.-Y. L.: Acad. press., 1974. 234 p.
  7. Bellman R. E., Cooke K. L. Differential-Difference Equations. New York. London: Acad. Press, 1963. 462 p.
  8. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 c.
  9. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 351 c.
  10. Hale J. K, Lunel S. M. V. Introduction to Functional Differential Equations. New York. London: Springer, 1993. 449 p.
  11. Норкин С. Б. О решениях линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // УМН. 1959. T. 14.1. № 85. С. 199–206.
  12. Мажгихова М. Г. Начальная и краевая задачи для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом // Челябинский Физико-Математический Журнал. 2018. Т. 3. №1. С. 27–37.
  13. Mazhgikhova M. G. Diarichlet problem for a fractional-order ordinary differential equation with retarded argument // Differential equations. 2018. vol. 54. no. 2. pp. 187–194.
  14. Мажгихова М. Г. Задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом // Известия КБНЦ РАН. 2018. Т. 70. №2. С. 15–20.
  15. Pskhu A. V. Initial-value problem for a linear ordinary differential equation of noninteger order // Sbornik: Mathematics. 2011. vol. 202. no. 4. pp. 571–582.
  16. Bogatyreva F. T. Boundary value problem with shift for an ordinary differential equation with the Dzhrbashyan-Nersesyan fractional differentiation operator // Differential equations. 2014. vol. 50. no. 2. pp. 162–168.
  17. Гадзова Л. Х. Краевая задача со смещением для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дискретно распределенного дифференцирования // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2018. Т. 149. С. 25–30.
  18. Prabhakar T. R. A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel // Yokohama Math. J. 1971. no. 19. pp. 7–15.
  19. Shukla A. K., Prajapati J. C. On a generalization of Mittag-Leffler function and its properties // J. Math. Anal. Appl. 2007. vol. 336. pp. 797–811.
  20. Wright E. M. The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function // J. London Math. Soc. 1935. vol. 10. pp. 286–293.
  21. Wright E. M. The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function // Proc. London Math. Soc. 1940. vol. 46. no. 2. pp. 389–408.

Для цитирования: Мажгихова М. Г. Краевая задача со смещением для дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. C. 16-25. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-16-25
For citation: Mazhgikhova M. G. Boundary value problem with shift for a fractional order delay differential equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 28: 3, 16-25. DOI:10.26117/2079-6641-2019-28-3-16-25

Поступила в редакцию / Original article submitted: 11.07.2019

Мажгихова Мадина Гумаровна – младший научный сотрудник отдела дробного исчисления, Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, г. Нальчик, Россия, ORCID:
0000-0001-7612-8850.
Mazhgikhova Madina Gumarovna – Junior Researcher, Division of Fractional Calculus, Institute of Applied Mathematics and Automation, KBSC RAS, Nalchik, Russia, ORCID: 0000-0001- 7612-8850.

Читать статью/Read articleСкачать статью/Download article