Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022.Т. 40. №3. C. 179-198. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска

Read English Version US Flag

УДК 517.938

Научная статья

Неявная конечно-разностная схема для осциллятора Дуффинга с производной переменного дробного порядка типа Римана-Лиувилля

В. А. Ким¹, Р. И. Паровик¹²

¹Камчатский государственный университете имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4, Россия
²Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН 684034, п. Паратунка, Камчатский край, ул. Мирная, 7, Россия
E-mail: valentinekim@mail.ru, romanparovik@gmail.com

В статье рассматривается неявная конечно-разностная схема для уравнения Дуффинга с производной дробного переменного порядка типа Римана-Лиувилля. Рассматриваются вопросы устойчивости и сходимости неявной конечно-разностной схемы. Для обоснования теоретических результатов приводятся тестовые примеры. С помощью правила Рунге сравниваются результаты работы неявной схемы с результатами явной схемы. Построены фазовые траектории и осциллограммы для осциллятора Дуффинга с дробной производной переменного порядка типа Римана-Лиувилля, с помощью спектра максимальных показателей Ляпунова и сечений Пуанкаре детектируются хаотические режимы. Построены поверхности добротности, амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик для исследования вынужденных колебаний. Результаты исследования показали, что неявная конечно-разностная схема показывает более точные результаты, чем явная.

Ключевые слова: осциллятор Дуффинга, правило Рунге, оператор Римана-Лиувилля, оператор Грюнвальда-Летникова, амплитудно-частотная характеристика, фазо-частотная характеристика, добротность, показатели Ляпунова, сечения Пуанкаре, фазовая траектория, осциллограмма.

DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-179-198

Поступила в редакцию: 24.11.2022

В окончательном варианте: 05.12.2022

Для цитирования. Ким В. А., Паровик Р. И. Неявная конечно-разностная схема для осциллятора Дуффинга с производной переменного дробного порядка типа Римана-Лиувилля // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 40. № 3. C. 179-198. DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-179-198

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Ким В. А., Паровик Р. И., 2022

Конкурирующие интересы. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в отношении авторства и публикации.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы внесли свой вклад в эту статью. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать. Окончательный вариант рукописи был одобрен всеми авторами.

Финансирование. Финансовая поддержка выполнена в рамках гранта президента РФ «Развитие математических моделей дробной динамики с целью исследования колебательных процессов и процессов с насыщением, № МД-758.2022.1.1.

Список литературы

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его приминение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  2. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. New York: Springer, 2010. 180 pp.
  3. Кузнецов С. П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296 с.
  4. Зельдович Б. Я., Табирян Н. В. Оптическая бистабильность на ориентационной нелинейности жидких кристаллов, Квантовая электроника, 1984. Т. 11, №12, С. 2419–2426 DOI: 10.1070/QE1984v014n12ABEH006232.
  5. Еськов В. В. и др. Хаотическая динамика миограмм, Вестник новых медицинских технологий. Электронное издание, 2016. №3 DOI: 12737/21668.
  6. Ejikeme C. L., et al. Solution to nonlinear Duffing oscillator with fractional derivatives using homotopy analysis method (HAM), Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 2018. vol. 14, no. 10, pp. 1363–1388 ISSN 0973-1768.
  7. Syta A. Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping, Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2014. vol. 24, no. 1, pp. 10–16 DOI: 10.1063/1.4861942.
  8. Xing W. Threshold for chaos of a duffing oscillator with fractional-order derivative, Shock Vib., 2019. vol. 2019, pp. 1–16.
  9. Shen Y., Li H., Yang S., Peng M., Han Y. Primary and subharmonic simultaneous resonance of fractional-order Duffing oscillator, Nonlinear Dyn., 2020. vol. 102, pp. 1485–1497.
  10. El-Dib Y. O. Stability approach of a fractional-delayed Duffing oscillator, Discontinuity Nonlinearity Complex, 2020. vol. 9, pp. 367–376.
  11. Eze S. C. Analysis of fractional Duffing oscillator,Rev. Mex. Física, 2020. vol. 66, pp. 187–191.
  12. Gouari Y., Dahmani Z., Jebril I. Application of fractional calculus on a new differential problem of Duffing type,Adv. Math. Sci. J., 2020. vol. 9, pp. 10989–11002.
  13. Syam M. I. The Modified Fractional Power Series Method for Solving Fractional Undamped Duffing Equation with Cubic Nonlinearity, Nonlinear Dyn. Syst. Theory, 2020. vol. 20, pp. 568–577.
  14. Barba-Franco J. J., Gallegos A., Jaimes-Reátegui R., Pisarchik A. N. Dynamics of a ring of three fractional-order Duffing oscillators, Chaos Solitons Fractals, 2022. vol. 155, pp. 111–747.
  15. Ким В. А. Осциллятор Дуффинга с внешним гармоническим воздействием и производной переменного дробного порядка Римана-Лиувилля, характеризующая вязкое трение, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 13, №2, С. 46–49 DOI: 10.18454/2079-6641-2016-13-2-50-54.
  16. Ким В. А., Паровик Р. И.Расчет максимальных показателей Ляпунова для колебательной системы Дуффинга со степенной памятью, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2018. Т. 23, №3, С. 98–105 DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-98-105.
  17. Kim V. A., Parovik R. I. Application of the Explicit Euler Method for Numerical Analysis of a Nonlinear Fractional Oscillation Equation, Fractional and fractals, 2022. vol. 6, no. 5, pp. 274–293 DOI: 10.3390/fractalfract6050274.
  18. Ким В. А., Паровик Р. И. Исследование вынужденных колебаний осциллятора Дуффинга с производной переменного дробного порядка Римана-Лиувилля, Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН, 2020. Т. 93, №1, С. 46–56 DOI: 10.35330/1991-6639-2020-1-93-46-56.
  19. Kim V. A., Parovik R. I.Mathematical model of fractional Duffing oscillator with variable memory, Mathematics, 2020. vol. 8, no. 11, pp. 20–34 DOI: 10.3390/math8112063.

Ким Валентин Александрович – младший научный сотрудник интегративной научно-исследовательской лаборатории природных катастроф Камчатки — землетрясений и извержений вулканов, Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга Петропавловск-Камчатский, Россия, ORCID 0000-0001-8895-6821.

Паровик Роман Иванович – доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры информатики и математики, Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский; ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов, Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия ORCID 0000-0002-1576-1860.

Читать статьюСкачать статью