Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 2(22). C. 33-44. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-22-2-33-44

ИНФОРМАЦИОННЫЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 519.622.2

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

В. М. Абдуллаев¹²

¹Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности, AZ1010, г. Баку, пр-т Азадлыг, 20
²Институт систем управления НАН Республики Азербайджан, AZ114, г. Баку, ул. Вахабзаде, 9

E-mail: vaqif_ab@rambler.ru

В статье предлагается численный метод решения задачи, основанный на использовании метода прямых для сведения задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с неизвестными параметрами. Далее используется специальное представление решения полученной краевой задачи относительно линейной системы дифференциальных уравнений с нелокальными условиями, с помощью которого задача параметрической идентификации сводится к решению вспомогательных краевых задач и одной системы алгебраических уравнений.Важно отметить, что, в отличие от оптимизационных подходов, в данной работе не используется построение каких-либо итерационных процедур или минимизирующих последовательностей.

Ключевые слова: обратная задача, метод прямых, параболическое уравнение.

© Абдуллаев В. М., 2018

INFORMATION AND COMPUTER TECHNOLOGIES

MSC 65M32

NUMERICAL SOLUTION TO PARAMETRIC IDENTIFICATION PROBLEMS FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

V. M. Abdullayev¹²

¹Azerbaijan State Oil and Industry University, Azadlig avenue 20, AZ1010, Baku, Azerbaijan
²Institute of Control Systems, Azerbaijan National Academy of Sciences, 9 B. Vahabzade str. Baku, AZ1141, Azerbaijan

E-mail: vaqif_ab@rambler.ru

The paper proposes a numerical method for solving the problem, based on the use of the method of lines to reduce the problem to a system of ordinary differential equations with unknown parameters. Next, we use a special representation of the solution of the obtained boundary value problem for a linear system of differential equations with nonlocal conditions, by means of which the problem of parametric identification reduces to solving auxiliary boundary value problems and a system of algebraic equations. It is important to note that, unlike optimization approaches, The construction of any iterative procedures or minimizing sequences is used.

Key words: inverse problem, method of lines, parabolic type equation, parametric identification.

© Abdullayev V. M., 2018

Список литературы

  1. Камынин В. Л., “Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения”, Матем. Заметки, 77:4 (2005), 522–534. [Kamynin V. L., “Ob obratnoj zadache opredelenija pravoj chasti v parabolicheskom uravnenii s usloviem integral’nogo pereopredelenija”, Matem. Zametki, 2005 vol 77, №4, 522–534].
  2. Belov Yu.Ya., “Inverse problems for parabolic equations”, J. Inv. Ill Posed Problems, 1:4 (1993), 283–305.
  3. Сергиенко И. B., Дейнека В. С., “Решение некоторых обратных задач теплопроводности для составной пластины с использованием псевдообратных матриц”, Доклады НАН Украины, 2011,№12, 28–34. [Sergienko I. B., Dejneka V. S., “Reshenie nekotoryh obratnyh zadach teploprovodnosti dlja sostavnoj plastiny s ispol’zovaniem psevdoobratnyh matric”, Doklady NAN Ukrainy, 2011, №12, 28–34].
  4. Hasanov A., Otelbaev M., Akpayev B., “Inverse heat conduction problems with boundary and final time measured output data”, Inverse Probl. Sci. Eng., 19 (2011), 895–1006.
  5. Ivanchov M.I., “Inverse problems for the heat-conduction equation with nonlocal boundary conditions”, Ukrainian Mathematical Journal, 45:8 (1993), 1186–1192.
  6. Саватеев Е.Г., “О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения”, Сиб. матем. журн., 36:1 (1995), 177–185. [Savateev E. G., “O zadache identifikacii kojefficienta parabolicheskogo uravnenija”, Sib. matem. zhurn. 1995, 36:1, 177–185].
  7. Прилепко А.И., Костин А.Б., “О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением”, Матем. сб., 183:4 (1992), 49–68. [Prilepko A. I., Kostin A. B., “O nekotoryh obratnyh zadachah dlja parabolicheskih uravnenij s final’nym i integral’nym nabljudeniem”, Matem. sb., 183:4 (1992), 49–68].
  8. Yan L, Fu C.L, Yang F.L., “The method of fundamental solutions for the inverse heat source problem”, Eng. Anal. Boundary Elements, 32 (2008), 216–222.
  9. Ismailov M. I, Kanca F, Lesnic D., “Determination of a time-dependent heat source under nonlocal boundary and integral overdetermination conditions”, Appl. Math. Comput., 218 (2011), 4138–4146.
  10. Cannon J.R, Duchateau P., “Structural identification of an unknown source term in a heat equation”, Inverse Probl., 14 (1998), 535–551.
  11. Aida-zade K.R., Abdullayev V.M., “Solution to a class of inverse problems for system of loaded ordinary differential equations with integral conditions”, J. Inv. Ill Posed Problems, 24:5 (2016), 543-558.
  12. Abdullayev V. M., Aida-zade K. R., “Optimization of loading places and load response functions for stationary systems”, Comput. Math. Math. Phys., 57:4 (2017), 634–644.
  13. Abdullaev V. M. , Aida-zade K. R., “On the numerical solution of loaded systems of ordinary differential equations”, Comput. Math. Math. Phys., 44:9 (2004), 1505–1515.
  14. Aida-zade K.R., “A Numerical method of restroring the parameters of a dynamic system”, Cybern. Syst. Analysis., 40:3 (2004), 392–399.

 

Список литературы (ГОСТ)

  1. Камынин В.Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения // Матем. Заметки. 2005. Т.77. №4. С.522–534.
  2. Belov Yu.Ya., Inverse problems for parabolic equations // J. Inv. Ill Posed Problems. 1993. vol. 1. no. 4. pp.283 – 305.
  3. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Решение некоторых обратных задач теплопроводности для составной пластины с использованием псевдообратных матриц // Доклады НАН Украины. 2011. no. 12. С.28–34.
  4. Hasanov A., Otelbaev M., Akpayev B. Inverse heat conduction problems with boundary and final time measured output data // Inverse Probl. Sci. Eng., 2011. vol. 19. pp. 895–1006.
  5. Ivanchov M.I. Inverse problems for the heat-conduction equation with nonlocal boundary conditions // Ukrainian Mathematical Journal. 1993. vol. 45. № 8. С.1186–1192.
  6. Саватеев Е.Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения // Сиб. матем. журн., 1995. Т.36. № 1. C.177–185.
  7. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Матем. сб., 1992. Т. 183. № 4. C. 49–68.
  8. Yan L, Fu C.L, Yang F.L. The method of fundamental solutions for the inverse heat source problem // Eng. Anal. Boundary Elements. 2008. Vol.32. Pp. 216–222.
  9. Ismailov M.I, Kanca F, Lesnic D. Determination of a time-dependent heat source under nonlocal boundary and integral overdetermination conditions // Appl. Math. Comput., 2011. Vol. 218. Pp. 4138–4146.
  10. Cannon J.R, Duchateau P. Structural identification of an unknown source term in a heat equation // Inverse Probl., 1998. vol.14. pp. 535–551.
  11. Aida-zade K.R., Abdullayev V.M. Solution to a class of inverse problems for system of loaded ordinary differential equations with integral conditions // J. Inv. Ill Posed Problems. 2016. vol. 24. no. 5. pp.543-558.
  12. Abdullayev V. M. , Aida-zade K. R. Optimization of loading places and load response functions for stationary systems // Comput. Math. Math. Phys., 2017. vol. 57. no. 4. pp. 634–644.
  13. Abdullaev V. M. , Aida-zade K. R. On the numerical solution of loaded systems of ordinary differential equations // Comput. Math. Math. Phys., 2004. vol. 44. no. 9. pp.1505–1515.
  14. Aida-zade K.R. A Numerical method of restroring the parameters of a dynamic system // Cybern. Syst. Analysis., 2004. Vol. 40. no. 3. pp. 392–399.

Для цитирования: Абдуллаев В. М. Численное решение задачи параметрической индентификации для дифференциальных уравнений с частными производными // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 2(22). C. 33-44. DOI: 10.18454/2079-6641-
2018-22-2-33-44
For citation: Abdullayev V. M. Numerical solution to parametric identification problems partial differential equations, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 22: 2, 33-44. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-22-2-33-44

Поступила в редакцию / Original article submitted: 03.04.2018
В окончательном варианте / Revision submitted: 08.04.2018

  Абдуллаев ВAbdullayevагиф Маариф оглы – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры общей и прикладной математики, Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности, ведущий научный сотрудник Института Систем Управления НАН Азербайджана, г. Баку, Республика Азербайджан, ORCID 0000-0001-7772-1226.
  Abdullayev Vagif Maarif – Dr. Sci.(Phys.& Math.), Professor of the Department of General and Applied Mathematics, Azerbaijan State University of Oil and Industry, Senior Researcher of Institute of Control Systems of Azerbaijan National Academy of Sciences, Baku, Republic of Azerbaijan, ORCID 0000-0001-7772-1226.

Скачать статью Abdullaev V.M.