Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026.Т. 54. №1. C. 93 — 103. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-1-93-103
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.58

Содержание выпуска

Read English Version

Задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода в области, эллиптическая часть которой – первая четверть плоскости

Р.Т. Зуннунов^{1,2\ast}, Ш.А. Бектошева^3, Р.И. Паровик^{1,4}

^1Институт математики имени В.И. Романовского академии наук Республики Узбекистан, 100174, Ташкент, ул. Университетская, д. 9, Узбекистан

^2Филиал РГУ Нефти и Газа (НИУ) имени И.М. Губкина в г. Ташкенте, 100125, г. Ташкент, Мирзо-Улугбекский район, ул. Дурмон йули, д. 34., Узбекистан

^3Кокандский педагогический институт, 150700, г. Коканд, ул. Мовароуннахр, 77, Узбекистан

^4Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, с. Паратунка, ул. Мирная, 7, Россия

Аннотация. В теории уравнений смешанного типа большинство исследований выполнено для ограниченных областей с гладкой границей и для уравнений первого рода. В настоящей работе для уравнения смешанного типа второго рода u_{xx} + \text{sign}y|y|^m u_{yy} = 0, 0 < m < 1, рассматривается задача Трикоми в неограниченной области, эллиптическая часть которой представляет собой первую четверть плоскости. Единственность решения доказывается с помощью принципа экстремума. Существование решения устанавливается методом функций Грина в эллиптической части и методом интегральных уравнений в гиперболической части. При построении функции Грина используются свойства функций Бесселя мнимого аргумента второго рода и гипергеометрической функции Гаусса. Получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно следа решения на линии вырождения, разрешимость которого следует из доказанной единственности. Для визуализации решения проведены численные расчёты, результаты которых представлены в виде трёхмерных поверхностей и контурных графиков; дана математическая и физическая интерпретация решения для различных значений параметра m.

Ключевые слова: задача Трикоми, уравнение смешанного типа второго рода, принцип экстремума, метод функции Грина, метод интегральных уравнений, первая четверть плоскости

Получение: 17.03.2026; Исправление: 28.03.2026; Принятие: 28.03.2026; Публикация онлайн: 29.03.2026

Для цитирования. Zunnunov R. T., Bektosheva Sh. A., Parovik R.I. Tricomi Problem for a Mixed-Type Equation of the Second Kind in a Domain the Elliptic Part of Which is the First Quadrant of the Plane // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026. Т. 54. № 1. C. 93-103. EDN: SSEJBO. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-1-93-103.

Финансирование. Работа выполнена в рамках Соглашения между Институтом математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан и Федеральным государственным бюджетным научным учреждением «Институт космофизических исследований и распространения радиоволн Дальневосточного отделения Российской академии наук» о сотрудничестве в области математических исследований (№ 117 от 28 апреля 2022 г.)

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: zunnunov@mail.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Zunnunov R. T., Bektosheva Sh. A., Parovik R.I., 2026

© ИКИР ДВО РАН, 2026 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

1. Lavrentiev, M.A.; Bitsadze, A.V. On the problem of equations of mixed type. Dokl. Akad. Nauk SSSR 1950, 70, 485–488. (In Russian)
2. Bers, L. Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics; Courier Dover Publications: Mineola, NY, USA, 2016; p. 176.
3. Frankl, F.I. Selected Works on Gas Dynamics; Nauka: Moscow, Russia, 1973; p. 703. (In Russian)
4. Denisova, Z.G. A boundary value problem with displacement for the equation \text{sign} y|y|^mu_{xx}+u_{yy} = 0 in an unbounded domain. Differ. Uravn. 1978, 14, 170–173. (In Russian)
5. Repin, O.A. The Tricomi problem for an equation of mixed type in a domain whose elliptic part is a half-strip. Differ. Equ. 1996, 32, 571–574.
6. Sevost’janov, G.D. Two Tricomi boundary value problems in an unbounded region. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 1967, 1, 95–101. (In Russian)
7. Zunnunov, R.T. Tricomi problem for a mixed-type equation in an unbounded domain. Uzbek Math. J. 2001, 2, 39–43. (In Russian)
8. Zunnunov, R.T. A Problem with Shift for Mixed-Type Equation in Domain, the Elliptical Part of Which Is a Horizontal Strip. Lobachevskii J. Math. 2023, 44, 4410–4417.
9. Smirnov, M.M. Equations of Mixed Type; American Mathematical Soc.: Providence, RI, USA, 1978; Vol. 51, p. 232.
10. Sevostyanov, G.D. Flow of a sonic gas jet around an airfoil. USSR Acad. Sci. Ser. Mech. Liq. Gases 1966, 30, 53–59. (In Russian)
11. Falkovich, S.V. On one case of solving the Tricomi problem. Transonic Gas Flows 1964, 1, 3–8. (In Russian)
12. Zunnunov, R.T.; Ergashev, A.A. The problem with shift for an equation of mixed type of the second kind in an unbounded domain. Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki 2016, 1, 26–31. (In Russian)
13. Zunnunov, R.T.; Parovik, R.I.; Ergashev, A.A. A Bitsadze–Samarskii-Type Problem for a Second- Kind Mixed-Type Equation in a Domain with a Horizontal Half-Strip as Its Elliptic Part. Mathematics 2026, 14, 487; DOI: 10.3390/math14030487.
14. Karol, I.L. On a certain boundary value problem for an equation of mixed elliptic-hyperbolic type. Dokl. Akad. Nauk SSSR 1953, 88, 197–200. (In Russian)
15. Bitsadze, A.V. Boundary Value Problems for Second Order Elliptic Equations; Elsevier: Amsterdam, The Netherlands, 2012; Vol. 5.
16. Muskhelishvili, N.I.; Radok, J.R.M. Singular Integral Equations: Boundary Problems of Function Theory and Their Application to Mathematical Physics; Courier Corporation, 2008.
17. Shaw, Z.A. Learn Python the Hard Way; Addison-Wesley Professional: Carrollton, TX, USA, 2024.

---

Информация об авторах

---

---

---