Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 47. №2. C. 35 — 57. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-47-2-35-57
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 519.642.2, 517.972.7

Содержание выпуска

Read English Version

О задаче оптимизации для определения вида функциональной зависимости переменного порядка дробной производной типа Герасимова-Капуто

Д. А. Твёрдый^\ast, Р. И. Паровик

Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, c. Паратунка, ул.Мирная, д. 7, Россия

Аннотация. При решении задач математического моделирования часто приходится обращаться к теории интегрально-дифференциального исчисления. С ее помощью можно описывать динамические процессы самой разной природы. Использование аппарата дробных производных позволяет уточнить некоторые из этих моделей за счет учета в уравнениях эффекта памяти. Данный эффект выражается в зависимости текущего состояния динамической системы от предыдущих состояний, то есть нелокальности. Интенсивность этого эффекта будет определяться значением показателя степени дробной производной. Классически это некое значение \alpha является нецелым и постоянным. Однако существуют обобщения дробных производных на случай переменной во времени нелокальности \alpha(t) и других функциональных зависимостей. Подобные дробно-дифференциальные модели все чаще находят свое применение в теории и практике физико-математических, а также технических наук. Однако, учитывая понимание природы моделируемого процесса, подбор различных параметров таких моделей приходится осуществлять эмпирически. Например, модельные параметры уточняются путем перебора значений и сопоставления временных рядов: результатов моделирования и экспериментальных данных, представляющих процесс. Это продолжается до тех пор, пока результаты моделирования не начнут качественно аппроксимировать данные. Такой подход трудоемок, что неизбежно приводит нас к идеям о решении обратных задач. Цель данной работы – показать, что с помощью методов безусловной оптимизации возможно решение обратных задач для определения вида функциональной зависимости \alpha(t). Прямая задача определяется как задача Коши для дробного уравнения, где производная понимается в смысле Герасимова-Капуто с переменным показателем степени дробной производной \alpha(t). Прямая задача решается численно с помощью нелокальной неявной конечно-разностной схемы. Обратная задача определяется как задача дискретной минимизации функции \alpha(t) на основе экспериментальных данных. В качестве метода для решения был выбран итерационный метод Левенберга-Марквардта. На тестовых примерах было показано, что метод Левенберга-Марквардта действительно может быть использован для безусловной оптимизации с целью определения вида функции \alpha(t) и её оптимальных значений в конкретных моделях.

Ключевые слова: Обратные задачи, безусловная оптимизация, Ньютоновские методы минимизации функции, алгоритм Левенберга–Марквардта, дробные производные, Герасимов–Капуто, эффект памяти, нелокальность, неявные конечно-разностные схемы.

Получение: 29.04.2024; Исправление: 30.05.2024; Принятие: 09.06.2024; Публикация онлайн: 25.08.2024

Для цитирования. Твёрдый Д. А., Паровик Р. И. О задаче оптимизации для определения вида функциональной зависимости переменного порядка дробной производной типа Герасимова-Капуто // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 47. № 2. C. 35-57. EDN: PVTXPV. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-47-2-35-57.

Финансирование. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-71-01050, https://rscf.ru/project/23-71-01050/

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^\astКорреспонденция: E-mail: tverdyi@ikir.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Твёрдый Д. А., Паровик Р. И., 2024

© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

1. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 540 pp. ISBN 9780444518323.
2. Iomin A. Fractional-time quantum dynamics, Physical Review E, 2009. vol. 80, no. 2, pp. 1–4 DOI: 10.1103/PhysRevE.80.022103.
3. Bagley R. L., Torvik P. J.A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity, Journal of rheology, 1983. vol. 27, no. 3, pp. 201–210 DOI: 10.1122/1.549724.
4. Coimbra C. F. M. Mechanics with variable-order differential operators,Annalen der Physik, 2003. vol. 12, no. 11–12, pp. 692–703 DOI: 10.1002/andp.200310032.
5. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results, Applied Mechanics Reviews, 2010. vol. 63, no. 1:010801,
   pp. 1–52 DOI: 10.1115/1.4000563.
6. Metzler R., Klafter J. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics, Journal of Physics A Mathematical and General, 2004. vol. 37, no. 31, pp. 161–208 DOI: 10.1088/0305-4470/37/31/R01.
7. Moroz L. I., Maslovskaya A. G. Numerical Simulation of an Anomalous Diffusion Process Based on a Scheme of a Higher Order of Accuracy, Mathematical Models and Computer Simulations, 2021. vol. 13, no. 3, pp. 492–501 DOI: 10.1134/S207004822103011X.
8. Parovik R. I. Mathematical modeling of linear fractional oscillators, Mathematics, 2020. vol. 8, no. 11:1879, pp. 1–26 DOI: 10.3390/math8111879.
9. Sun H. G., Chen W., Wei H., Chen Y. Q.A comparative study of constant-order and variable-order fractional models in characterizing memory property of systems, The European Physical Journal- Special Topics, 2011. vol. 193, no. 1, pp. 185–192 DOI: 10.1140/epjst/e2011-01390-6.
10. Volterra V. Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications,Acta Mathematica, 1912. vol. 35, no. 1, pp. 295–356 DOI: 10.1007/BF02418820.
11. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. Москва: Физматлит, 2003. 272 с.
12. Рехвиашвили С. Ш., Псху А. В. Дробный осциллятор с экспоненциально-степенной функцией памяти, Письма в ЖТФ, 2022. Т. 48, №7, С. 33–35 DOI: 10.21883/PJTF.2022.07.52290.19137.
13. Gerasimov A. N. Generalization of linear deformation laws and their application to internal friction problems, Applied Mathematics and Mechanics, 1948. vol. 12, pp. 529–539.
14. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent – II, Geophysical Journal International, 1967. vol. 13, no. 5, pp. 529–539 DOI: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x.
15. Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol. I. Background and Theory. Berlin: Springer, 2013. 373 DOI: 10.1007/978-3-642-33911-0 pp.
16. Westerlund S. Dead matter has memory!, Physica Scripta, 1991. vol. 43, no. 2, pp. 174–179 DOI:10.1088/0031-8949/43/2/011.
17. Patnaik S., Hollkamp J.P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: a review, Proceedings of the Royal Society A, 2020. vol. 476, no. 2234, pp. 20190498 DOI: 10.1098/rspa.2019.0498.
18. Lin R., Liu F., Anh V., Turner I. W. Stability and convergence of a new explicit finite-difference approximation for the variable-order nonlinear fractional diffusion equation, Applied Mathematics and Computation, 2009. vol. 212, no. 2, pp. 435–445 DOI: 10.1016/j.amc.2009.02.047.
19. Fang Z. W., Sun H. W., Wang H.A fast method for variable-order Caputo fractional derivative with applications to time-fractional diffusion equations, Computers & Mathematics with Applications, 2020. vol. 80, no. 5, pp. 1443–1458 DOI: 10.1016/j.camwa.2020.07.009.
20. Sahoo S., Saha Ray S., Das S., Bera R. K. The formation of dynamic variable-order fractional differential equation, International Journal of Modern Physics C, 2016. vol. 27, no. 07, pp. 1650074 DOI: 10.1142/S0129183116500741.
21. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation,Fractal and Fractional, 2022. vol. 6, no. 1:23, pp. 1–27 DOI: 10.3390/fractalfract6010023.
22. Tverdyi D. A., Parovik R. I., Makarov E. O., Firstov P.P. Research of the process of radon accumulation in the accumulating chamber taking into account the nonlinearity of its entrance, E3S Web Conference, 2020. vol. 196, no. 02027, pp. 1–6 DOI: 10.1051/e3sconf/202019602027.
23. Tverdyi D. A., Makarov E. O., Parovik R. I. Hereditary Mathematical Model of the Dynamics of Radon Accumulation in the Accumulation Chamber, Mathematics, 2023. vol. 11, no. 4:850, pp. 1–20 DOI: 10.3390/math11040850.
24. Tverdyi D. A., Makarov E. O., Parovik R. I. Research of Stress-Strain State of Geo-Environment by Emanation Methods on the Example of alpha(t)-Model of Radon Transport, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 2023. Т. 44, №3, С. 86–104 DOI: 10.26117/2079-6641-2023-44-3-86-104.
25. Рудаков В. П. Эманационный мониторинг геосред и процессов. Москва: Научный мир, 2009. 175 с.
26. Cox D. R. Hinkley D. V. Theoretical Statistics, 1st edition. London: Chapman & Hall/CRC, 1979. 528 pp.
27. Ревизников Д. Л., Морозов А.Ю. Алгоритмы численного решения дробно-дифференциальных уравнений с интервальными параметрами, Сибирский журнал индустриальной математики, 2023. Т. 26, №4, С. 93–108 DOI: 10.33048/SIBJIM.2023.26.407.
28. Hadamard J. S. Sur les problèmes aux derivees partielles et leur significa tion physique, Princeton University Bulletin, 1902. vol. 13, no. 4, pp. 49–52.
29. Morozov V. A. Methods for Solving Incorrectly Posed Problems. Springer: New York, 1984. 257 pp. DOI: 10.1007/978-1-4612-5280-1.
30. Mueller J. L., Siltanen S. Linear and Nonlinear Inverse Problems with Practical Applications. Philadelphia, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2012. 351 pp. ISBN 978-1-61197-233-7 DOI: 10.1137/1.9781611972344.
31. Tarantola A. Inverse problem theory : methods for data fitting and model parameter estimation. Amsterdam and New York: Elsevier Science Pub. Co., 1987. 613 pp.
32. Tahmasebi P., Javadpour F., Sahimi M. Stochastic shale permeability matching: Three-dimensional characterization and modeling, International Journal of Coal Geology, 2016. vol. 165, no. 1, pp. 231–242 DOI: 10.1016/j.coal.2016.08.024.
33. Lailly P. The seismic inverse problem as a sequence of before stack migrations, Conference on Inverse Scattering, Theory and application, 1983, pp. 206–220.
34. Mohamad-Djafari A. Inverse Problems in Vision and 3D Tomography. New-York: ISTE-WILEY, 2010. 480 pp. ISBN 9781848211728 DOI: 10.1002/9781118603864.
35. Hayotov A. R., Jeon S., Shadimetov K. M. Application of optimal quadrature formulas for reconstruction of CT images, Journal of Computational and Applied Mathematics, 2021. vol. 388, pp. 113313 DOI: 10.1016/j.cam.2020.113313.
36. Gubbins D. Book reviews. Inverse Problem Theory. Methods for Data Fitting and Model Parameter Estimation Albert Tarantola. Elsevier, Amsterdam and New York, 1987, Geophysical Journal International, 1988. vol. 94, no. 1, pp. 167–168 DOI: 10.1111/j.1365-246X.1988.tb03436.x.37.
37. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Hybrid GPU–CPU Efficient Implementation of a Parallel Numerical Algorithm for Solving the Cauchy Problem for a Nonlinear Differential Riccati Equation of Fractional Variable Order, Mathematics, 2023. vol. 11, no. 15:3358, pp. 1–21 DOI: 10.3390/math11153358.
38. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1977. 736 с.
39. Dennis J. E., Robert Jr., Schnabel B. Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations. Philadelphia: SIAM, 1983. 378 pp.
40. Иващенко Д. С. Численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени, дисс. . . . канд. физ.-матем. наук. Томск, 2008. 187 с.
41. Тихонов А. Н.О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации, Докл. АН СССР, 1963. Т. 151, №3, С. 501–504.
42. Кабанихин С. И., Искаков К.Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2001. 315 с.
43. Калиткин Н. Н. Численные методы. 2-е изд.. Санкт–Петербург: БХВ, 2011. 592 с.
44. Arridge S. R., Schweiger, M.A General Framework for Iterative Reconstruction Algorithms in Optical Tomography, Using a Finite Element Method, Computational Radiology and Imaging: Therapy and Diagnostics, 1902. vol. 13, no. 4, pp. 40–70 DOI: 110.1007/978-1-4612-1550-9_4..
45. Levenberg K.A method for the solution of certain non-linear problems in least squares, Quarterly of applied mathematics, 1944. vol. 2, no. 2, pp. 164–168 DOI: 10.1090/qam/10666.
46. Marquardt D. W. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters, Journal of the society for Industrial and Applied Mathematics, 1963. vol. 11, no. 2, pp. 431–441 DOI:10.1137/0111030.
47. More J. J. The Levenberg-Marquardt algorithm: Implementation and theory, In: Watson, G.A. (eds) Numerical Analysis. Lecture Notes in Mathematics, 1978. vol. 630, pp. 105–116 DOI: 10.1007/BFb0067700.
48. Борзунов С. В., Кургалин С. Д., Флегель А. В. Практикум по параллельному программированию: учебное пособие. Санкт-Петербург: БХВ, 2017. 236 с.
49. Sanders J., Kandrot E. CUDA by Example: An Introduction to General-Purpose GPU Programming. London: Addison-Wesley Professional, 2010. 311 pp..

---

Информация об авторах

---

---