Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 52. №3. C. 53 — 62. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-53-62
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.958

Содержание выпуска

Read English Version

Нелокальная задача для дробно-временного уравнения гиперболического типа с дробной производной Прабхакара

Х. Н. Турдиев^{\ast}

Ферганский государственный университет, 150100, г. Фергана, ул. Мураббилара, 19, Узбекистан

Аннотация. В данной работе исследуется нелокальная краевая задача для уравнения в частных
производных гиперболического типа, дробно-временного, включающего дробные производные регуляризованного оператора Прабхакара. Дробное дифференцирование определяется через регуляризованный оператор Прабхакара, что обеспечивает гибкую структуру для моделирования эффектов памяти с невырожденными ядрами. Уравнение рассматривается в ограниченной прямоугольной области на плоскости относительно двух независимых переменных. Граничные условия нелокальны и задаются в виде выражений в частных интегральных функциях неизвестного решения по каждой пространственной переменной, где соответствующие ядра предполагаются непрерывными. Опираясь на ранее полученные формулы представления решения ассоциированной задачи Гурса в терминах функций типа Миттаг-Леффлера, исходная краевая задача преобразуется в связанную систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода для следов решения на участке границы. Такое сведение позволяет применять классические методы интегральных уравнений для анализа задачи. Используя соответствующие оценки регуляризованных ядер Прабхакара и свойства полученных интегральных операторов, мы строго устанавливаем существование и единственность решения нелокальной краевой задачи. Более того, решение представлено в явном виде через решения полученной системы интегральных уравнений. Результаты показывают, что регуляризованный подход Прабхакара обеспечивает надежный и аналитически точный подход к решению дробно-временных гиперболических задач с нелокальными граничными взаимодействиями.

Ключевые слова: Телеграфное уравнение, нелокальная задача, интегральное уравнение, задача
Гурса, дробная производная Прабхакара, функция типа Миттаг-Леффлера.

Получение: 10.11.2025; Исправление: 11.11.2025; Принятие: 12.11.2025; Публикация онлайн: 14.11.2025

Для цитирования. Turdiev Kh. N. Nonlocal problem for the time-fractional hyperbolic-type equation with the Prabhakar fractional derivative // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 52. № 3. C. 53-62. EDN: IBVSBJ. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-53-62.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: xurshidjon2801@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Turdiev Kh. N., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Lesnic D. Inverse problems with applications in science and engineering. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2022 DOI: 10.1201/9780429400629.
  2. Heaviside O. Electromagnetic Theory, vol. II. New York: Chelsea Publishing Company, 1899.
  3. Salakhitdinov M. S., Urinov A. K. Boundary value problems for mixed type equations with a spectral parameter. Tashkent: Fan, 1997.
  4. Urinov A. K. About the uniqueness of the solution of some non-local problems for the general equation of Tricomi with complex spectral parameter, Uzbek Mathematical Journal, 1993. no. 3, pp. 83–91.
  5. Pshibikhova R. A.On a nonlocal boundary value problem with integral conditions for a fractional telegraph equation, News of the Kabardin-Balkar Scientific Center of RAS, 2020. no. 3, pp. 5–12 DOI: 10.35330/1991-6639-2020-3-95-5-12 (In Russian).
  6. Ashurov R. R., Fayziev Yu. E.On the nonlocal problems in time for subdiffusion equations with the Riemann–Liouville derivatives, Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 2022. vol. 106, no. 2, pp. 18–37 DOI: 10.31489/2022M2/18-37.
  7. Turdiev Kh. Nonlocal problems for a combination of two telegraph equations in a mixed domain, Bulletin of the Institute of Mathematics, 2024. vol. 7, no. 6, pp. 100–107 Online: Google Drive.
  8. Mamchuev M. O. Solutions of the main boundary value problems for the time-fractional telegraph equation by the Green function method, Fractional Calculus and Applied Analysis, 2017. vol. 20, pp. 190–211 DOI: 10.1515/fca-2017-0010.
  9. Ashurov R., Saparbayev R. Time-dependent identification problem for a fractional telegraph equation with the Caputo derivative, Fractional Calculus and Applied Analysis, 2024. vol. 27, pp. 7–15 DOI: 10.1007/s13540-024-00240-0.
  10. Pshibikhova R. A. The Goursat problem for the fractional telegraph equation with Caputo derivatives, Mathematical Notes, 2016. vol. 99, no. 4, pp. 552–555 DOI: 10.1134/S0001434616030287.
  11. Pshibikhova R. A. Darboux problem for fractional telegraph equation, Vestnik KRAUNC. Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018. vol. 3, no. 23, pp. 91–97 DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-91-97 (In Russian).
  12. Pshibikhova R. A. Boundary value problem for a generalized telegraph equation of fractional order with variable coefficients, Vestnik KRAUNC. Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016. vol. 4-1, no. 16, pp. 50–55 DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-50-55 (In Russian).
  13. Karimov E. T., Turdiev Kh. N., Usmonov D. A. Generalized telegraph equation and bivariate, trivariate Mittag–Leffler type functions, 2025 Online: ResearchGate.
  14. D’Ovidio M., Polito F. Fractional diffusion–telegraph equations and their associated stochastic solutions, Theory Probab. Appl., 2018. vol. 62, no. 4, pp. 552–574 DOI: 10.1137/S0040585X97T988812.
  15. Prabhakar T. R.A singular integral equation with a generalized Mittag–Leffler function in the kernel, Yokohama Mathematical Journal, 1971. vol. 19, pp. 7–15.
  16. Turdiev Kh. N., Usmonov D. A. The Goursat’s problem for generalized (fractional) hyperbolic-type
    equation, Uzbek Mathematical Journal, 2025. vol. 69, no. 2, pp. 300–306 DOI: 10.29229/uzmj.2025-
    2-29.
  17. Karimov E. T., Hasanov A.On a boundary-value problem in a bounded domain for a time-fractional
    diffusion equation with the Prabhakar fractional derivative, Bulletin of the Karaganda University.
    Mathematics Series, 2023. vol. 111, no. 3, pp. 39–46 DOI: 10.31489/2023M3/39-46.

Информация об авторе

Турдиев Хуршиджон Нурмахамат угли – аспирант, кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений, Ферганский государственный университет, Фергана, Узбекистан, ORCID 0000-0003-4960-8669.

Читать статьюСкачать статью