Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 47. №2. C. 21 — 34. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-47-2-21-34
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.925.5

Содержание выпуска

Read English Version

Математическая модель дробного осциллятора Ван дер Поля-Эйри

А. И. Салимова¹, Р. И. Паровик^\ast¹²

¹Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская, д. 4, Узбекистан
²Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, д. 7, Россия

Аннотация. В работе предложена математическая модель нелинейного осциллятора Ван дер Поля-Эйри с учетом наследственности. Нелинейность осциллятора обусловлена наличием зависимости коэффициента трения от квадрата функции смещения, что характерно для осциллятора Ван дер Поля. Также собственная частота колебаний представляет собой функцию от времени, которая линейно возрастает при его возрастании. Последнее характерно для осциллятора Эйри. Эффекты наследственности вводятся в модельное уравнение посредством дробных производных в смысле Герасимова-Капуто. Они указывают на то, что колебательная система может обладать эффектами памяти, которые проявляются в зависимости текущего ее состояния от предыдущих. Для предложенной математической модели был разработан численный алгоритм, основанный на явной конечно-разностной схемы первого порядка. Численный алгоритм был реализован в компьютерной программе на языке Maple, с помощью которой была произведена визуализация результатов моделирования. Были построены осциллограммы и фазовые траектории при различных значениях параметров модели. Показано, что дробная математическая модель может обладать различными колебательными режимами: от автоколебательных, затухающих и хаотических. Дается интерпретация результатов моделирования.

Ключевые слова: математическая модель, дробная производная Герасимова-Капуто, осциллограмма, фазовая траектория, предельный цикл, численный алгоритм

Получение: 29.03.2024; Исправление: 15.05.2024; Принятие: 06.06.2024; Публикация онлайн: 25.08.2024

Для цитирования. Салимова А. И., Паровик Р. И. Математическая модель дробного осциллятора Ван дер Поля-Эйри // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 47. № 2. C. 21-34. EDN: QMOAXO. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-47-2-21-34.

Финансирование. Работа выполнена в рамках государственного задания ИКИР ДВО РАН (рег. №124012300245-2)

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^\astКорреспонденция: E-mail: parovik@ikir.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Салимова А. И., Паровик Р. И., 2024

© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. Berlin: Springer, 2011. 218 DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-42-54 pp.
  2. Tarasov V. E.On history of mathematical economics: Application of fractional calculus, Mathematics, 2019. vol. 7, 509 DOI: 10.3390/math7060509.
  3. Klafter J., Lim S. C., Metzler R. Fractional dynamics: recent advances. Singapore:World Scientific, 2011. 532 DOI: 10.1142/8087 pp.
  4. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  5. Van der Pol B. LXXXVIII. On “relaxation-oscillations”, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1926. vol. 2, no. 11, pp. 978-992.
  6. Airy G. B.On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic,Trans. Camb. Phil. Soc., 1838. no. 6, pp. 379–402.
  7. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твёрдых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.
  8. Volterra V. Functional theory, integral and integro-differential equations. New York: Dover Publications, 2005. 288 pp.
  9. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.
  10. Герасимов А. Н. Обобщение законов линейного деформирования и их применение к задачам внутреннего трения,АН ССР. Прикладная математика и механика, 1948. Т. 44, №6, С. 62-78.
  11. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent – II, Geophysical Journal International, 1967. vol. 13, pp. 529-539.
  12. Паровик Р. И. Математическое моделирование эредитарного осциллятора Эйри с трением, Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование, 2017. Т. 10, №1, С. 138-148 DOI: 10.14529/mmp170109.
  13. Паровик Р. И. Задача Коши для обобщенного уравнения Эйри, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2014. Т. 16, №3, С. 64-69.
  14. Parovik R. I. Mathematical Models of Oscillators with Memory / Oscillators — Recent Developments. London, InTech, 2019, pp. 3-21 DOI: 10.5772/intechopen.81858.
  15. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon, Proc. IRE., 2016. vol. 50, pp. 2061-2070.
  16. Efremidis N. K. et al. Airy beams and accelerating waves: an overview of recent advances, Optica, 2019. vol. 6, no. 5. 686-701 pp.
  17. Паровик Р. И.Математическая модель фрактального осциллятора Ван-дер-Поля, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2015. Т. 17, №2, С. 57-62.
  18. Паровик Р. И. Анализ добротности вынужденных колебаний дробного линейного осциллятора,Журнал технической физики, 2020. Т. 90, №7, С. 1059-1063 DOI: 10.21883/JTF.2020.07.49436.233-19.
  19. Псху А. В. Рехвиашвили С.Ш.Анализ вынужденных колебаний дробного осциллятора, Письма в Журнал технической физики, 2019. Т. 45, №1, С. 34-37 DOI: 10.21883/PJTF.2019.01.47154.17540.
  20. Рехвиашвили С. Ш., Псху А. В. Новый метод описания затухающих колебаний балки с одним заделанным концом,Журнал технической физики, 2019. Т. 89, №9, С. 1314-1318 DOI: 10.21883/JTF.2019.09.48055.284-18.
  21. Паровик Р. И. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики вынужденных колебаний нелинейного дробного осциллятора, Письма в Журнал технической физики, 2019. Т. 45, №13, С. 25-28 DOI: 10.21883/PJTF.2019.13.47953.17811.
  22. Gao G., Sun Z., Zhang H.A new fractional numerical differentiation formula to approximate the Caputo fractional derivative and its applications, Journal of Computational Physics, 2014. vol. 259, pp. 33-50.
  23. Garrappa R. Numerical solution of fractional differential equations: A survey and a software tutorial, Mathematics, 2018. vol. 6, no. 2, 016 DOI: 10.3390/math6020016.
  24. Tavazoei M. S. Haeri M. Chaotic Attractors in Incommensurate Fractional Order Systems, Physica D: Nonlinear Phenomena, 2008. vol. 237, no. 20, pp. 2628-2637.
  25. Parovik R. I., Yakovleva T.P.Construction of maps for dynamic modes and bifurcation diagrams in
    nonlinear dynamics using the Maple computer mathematics software package, Journal of Physics: Conference Series, 2022, 52022 DOI: 10.1088/1742-6596/2373/5/052022.

Информация об авторах

Салимова Асал Искандаровна – магистрант 1 курса «Прикладная математика» , Национальный университет имени Мирзо Улугбека, г. Ташкент, Узбекистан, ORCID 0009-0003-9945-0991.

Паровик Роман Иванович – доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия, ORCID 0000-0002-1576-1860.

Читать статьюСкачать статью