Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026.Т. 54. №2. C. 68 — 105. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-2-68-105

Обзорная статья

Полный текст на английском языке

УДК 519.6+550.8

Содержание выпуска

Read English Version

Посвящается 85-ию д.ф-м.н. П.П. Фирстова

Математическое моделирование переноса радона в геологических средах: классические и неклассические подходы

Р. И. Паровик¹²^{\ast}

¹Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Паратунка, ул. Мирная, 7, Россия
²Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а, Россия

Аннотация. В статье проводится обзор математических моделей, которые описывают диффузионно-конвективный перенос радона в пористых геологических средах в рамках теории эманационного метода. Основу таких математических моделей составляет линейное нестационарное уравнение диффузии-конвекции радона для описания его переноса в однородном пористом грунте или системе «грунт-атмосфера» в зависимости от различных начальных и краевых условий. Основным инструментом исследования математических моделей является интегральное преобразование Лапласа, которое позволяет найти аналитическое решение поставленной задачи. Расчетные кривые, полученные согласно найденному аналитическому решению, позволяют установить закономерность процесса переноса радона и моделировать его в зависимости от различных физико- геологических параметров. Полученные решения можно использовать в прикладных задачах. В частности, в статье описывается алгоритм оценки плотности потока радона с поверхности Земли, обладающий повышенной чувствительностью к деформационным возмущениям в геологической среде. Далее обсуждаются обобщения ранее разработанных математических моделей, которые основаны на представлении о фрактальной структуре геосреды и математическом аппарате дробного дифференцирования. В стационарном случае построены модели супердиффузии (1 < \alpha < 2) и субадвекции (0 < \alpha < 1), показана их способность описывать аномально быструю миграцию радона к земной поверхности. Рассмотрена модель с переменным порядком дробной производной, позволяющая сопоставлять динамику объёмной активности радона с сейсмической активностью на примере Южной Камчатки. Полученные результаты могут быть использованы при мониторинге геодинамических процессов, поиске полезных ископаемых или в решении задач экологии. Необходимо отметить, что представленные в статье результаты были получены совместно с д.ф.-м.н. Фирстовым П.П. (06.04.1941-20.07.2021), который организовал сеть пунктов наблюдений по мониторингу радона на Камчатке. В 2026 году Фирстову П.П. исполнилось бы 85 лет. Данная статья посвящена этой знаменательной дате, а также является данью памяти и уважения коллеге и выдающемуся ученому, которым для автора был Фирстов П.П.

Ключевые слова: радон, диффузия, конвекция, супердиффузия, сейсмическая активность

Получение: 30.07.2026; Исправление: 12.08.2026; Принятие: 13.08.2026; Публикация онлайн: 14.09.2026

Для цитирования. Parovik R. I. Mathematical Modeling of Radon Transport in Geological Media: Classical and Non-Classical Approaches // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026. Т. 54. № 2. C. 68-105. EDN: JJYGSB. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-2-68-105.

Финансирование. Работа выполнена в рамках государственного задания ИКИР ДВО РАН № 124012300245-2.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: parovik@ikir.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Parovik R. I., 2026

© ИКИР ДВО РАН, 2026 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Kirikov A.P. The Tyuya-Muyun Radium Deposit. Leningrad: Geological Committee, 1929. 65 pp. (In Russian)
  2. Bogoyavlensky L. N. Radiometric exploration of oil, Izv. Inst. Prikl. Geofiz. VSNKh SSSR, 1927. no. 3, pp. 113–122 (In Russian).
  3. Grammakov A.G. The emanation (radon) method of prospecting, investigation and exploration of radioactive objects, Tr. TsNIGRI, 1934. no. 7. 115 pp. (In Russian)
  4. Grammakov A. G.On the influence of some factors in the spreading of radioactive emanations under natural conditions, Zhur. Geofiziki, 1936. vol. 6, pp. 123–148.
  5. Hahn O. Applied Radiochemistry. Ithaca: Cornell Univ. Press, 1936. 278 pp.
  6. Flügge S., Zimens K.-E. Die Bestimmung von Korngrößen und Diffusionskonstanten aus dem Emaniervermögen, Zeitschrift für Physikalische Chemie, 1939. vol. B. 42, pp. 179–220.
  7. Ulomov V. I., Mavashev B. Z.A precursor of a strong tectonic earthquake, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1967. vol. 176, no. 2, pp. 319–321 (In Russian).
  8. Mavlyanov G. A., Ulomov V. I. Earthquake Precursors and Their Relation to Changes in Groundwater Composition. Tashkent: FAN, 1969 (In Russian).
  9. Peter J. Radon to predict earthquakes, Nature, 1976. vol. 261, no. 5556, pp. 97–98.
  10. King C. Y. Episodic radon changes in subsurface soil gas along active faults and possible relation to earthquakes, Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 1980. vol. 85, no. B6, pp. 3065–3078.
  11. Gold T., Soter S. Fluid ascent through the solid lithosphere and its relation to earthquakes, Pure and Applied Geophysics, 1984. vol. 122, no. 2, pp. 492–530.
  12. Dubinchuk V. T. Radon as a precursor of earthquakes / Isotopic geochemical precursors of earthquakes and volcanic eruption. Vienna, 1991, pp. 6–22.
  13. Utkin V. I., Yurkov A. K. Radon and the problem of tectonic earthquakes, Volcanology & Seismology, 1998. vol. 19, no. 4, pp. 485–495.
  14. Rudakov V.P. Nature of the emanation (radon) precursors of earthquakes, Geochemistry International, 2003. vol. 41, no. 2, pp. 194–196.
  15. Firstov P.P., Shirokov V. A., Rulenko O.P. et al. The nexus of soil radon and hydrogen dynamics and seismicity of the northern flank of the Kuril-Kamchatka subduction zone, Annals of Geophysics, 2007. vol. 50, no. 4, pp. 547–556.
  16. Utkin V. I., Yurkov A. K. Radon as a tracer of tectonic movements, Russian Geology and Geophysics, 2010. vol. 51, no. 2, pp. 220–227.
  17. Firstov P.P. Monitoring of the Volume Activity of Subsoil Radon (222Rn) at the Paratunka Hydrothermal System in 1997–1998 with the Aim of Searching for Precursors of Strong Earthquakes in Kamchatka, Volcanology & Seismology, 1999. no. 6, pp. 33–43 (In Russian).
  18. Firstov P.P., Rudakov V.P. Results of Recording of Subsurface Radon in 1997-2000 at the Petropavlovsk Kamchatski Geodynamic Research Area, Volcanology & Seismology, 2003. no. 6, pp. 1–16.
  19. Kumar G. [et al.] Earthquake precursor measurements employing a network of radon sensors, EPJ Nuclear Sciences & Technologies, 2025. vol. 11, pp. 48.
  20. Sahoo B. K. [et al.] The Indian Network for Detecting Radon Anomaly signal for Seismic Application, Journal of Environmental Radioactivity, 2025. vol. 289, pp. 107761.
  21. Piersanti A. [et al.] Soil radon time series from the Italian radon monitoring network (IRON), Scientific Data, 2025. vol. 12, no. 1, pp. 415.
  22. Makarov E. O., Firstov P.P., Voloshin V. N. Hardware complex for recording soil gas concentrations and searching for precursor anomalies before strong earthquakes in South Kamchatka, Seismic instruments, 2013. vol. 49, no. 1, pp. 46–52.
  23. Firstov P.P. Capabilities of forecasting strong earthquakes based on radon monitoring data at the Petropavlovsk-Kamchatsky geodynamic test site, Vestnik Kamchatskoi regional’noi assotsiatsii Uchebno-nauchnyi tsentr. Seriya: Nauki o Zemle, 2014. no. 1(23), pp. 35–49 (In Russian).
  24. Firstov P.P., Makarov E.O., Akbashev R.R. Monitoring of soil gases concentration at the Petropavlovsk Kamchatsky geodynamic Test Area with respect to the long-term forecast of strong earthquakes, Seismic instruments, 2015. vol. 51, no. 1, pp. 60–80.
  25. Firstov P.P., Makarov E.O., Paskar’ S.Yu., Parovik R.I. Features of one type of earthquakes precursory anomalies in soil radon at Paratunka (Kamchatka), ANRI, 2016. no. 4(87), pp. 55–62 (In Russian).
  26. Firstov P.P., Makarov E. O., Glukhova I.P.Parameter Variations in the Subsoil Radon Field at the Paratunka Station of the Petropavlovsk-Kamchatsky Geodynamic Test Site in 2011-2016, Seismic Instruments, 2018. vol. 54, no. 2, pp. 121-133 DOI: 10.3103/S0747923918020032.
  27. Firstov P.P., Makarov E. O. Dynamics of Subsurface Radon in Kamchatka and Strong Earthquakes. Petropavlovsk-Kamchatsky: Kamchatka State University named after Vitus Bering, 2018. 148 pp. (In Russian)
  28. Firstov P.P., Makarov E. O., Glukhova I.P. Anomalies in the Dynamics of Subsoil Gases at the Petropavlovsk-Kamchatskii Test Site within the Vicinity of the Time of the Magnitude 7.2 January 30, 2016 Deep-Focus Earthquake, Journal of Volcanology and Seismology, 2018. vol. 12, no. 5, pp. 297–309.
  29. Firstov P.P., Glukhov V. E., Makarov E. O. [et al.] Geodynamic Processes Preceding the Sea of Okhotsk Deep Earthquake of May 24, 2013, with Magnitude Mw = 8.3, Doklady Earth Sciences, 2019. vol. 489, no. 1, pp. 1372–1375.
  30. Firstov P.P., Makarov E. O. Long-term trends of subsoil radon in Kamchatka as indicators of the preparation of earthquakes with M > 7.5 in the northwestern framing of the Pacific Ocean, Geosistemy perekhodnykh zon, 2020. vol. 4, no. 3, pp. 270–287 (In Russian).
  31. Firstov P., Makarov E. Reaction in the field of subsoil gases to the preparation of the earthquake on March 16, 2021 with MW = 6.6 (Kamchatka, Russia), Journal of Physics: Conference Series, 2021. vol. 2094, pp. 52026.
  32. Tsapalov A. A., Miklyaev P. S., Petrova T. B., Kuvshinnikov S. I. The crisis of radon regulation in Russia: the scale of the problem and proposals for correction, ANRI, 2024. no. 1(116), pp. 3–29 (In Russian).
  33. Grammakov A. G., Nikonov A. I., Tarfeev G.P. Radiometric Methods of Prospecting and Exploration of Uranium Ores. Moscow: Gosgeoltekhizdat, 1957. 610 pp. (In Russian)
  34. Novikov G. F., Kapkov Yu. N. Radioactive Methods of Exploration. Leningrad: Nedra, 1965. 759 pp. (In Russian)
  35. Gudzenko V. V., Dubinchuk V. T. Isotopes of Radium and Radon in Natural Waters. Moscow: Nauka, 1987. 158 pp. (In Russian)
  36. Novikov G. F. Radiometric Prospecting. Leningrad: Nedra, 1989. 407 pp. (In Russian)
  37. Parovik R. I., Ilyin I. A., Firstov P.P. Mathematical diffusion model of mass transfer of radon (222Rn) in soil and its exhalation into the surface layer of the atmosphere, Vestnik Kamchatskoi regional’noi assotsiatsii Uchebno-nauchnyi tsentr. Seriya: Nauki o Zemle, 2006. no. 1(7), pp. 110–114 (In Russian).
  38. Parovik R. I., Ilyin I. A., Firstov P.P.Model of mass transfer of radon (222Rn) into the surface layer of the atmosphere, Vestnik Kamchatskoi regional’noi assotsiatsii Uchebno-nauchnyi tsentr. Seriya: Nauki o Zemle, 2006. no. 2(8), pp. 134–139 (In Russian).
  39. Parovik R.I., Il’in I.A., Firstov P.P. Generalized One-Dimensional Model of Mass Transfer of 222Rn and Its Exhalation into the Surface Layer of the Atmosphere, Mathematical Models and Computer Simulations, 2007. vol. 19, no. 11, pp. 43–50 (In Russian).
  40. Firstov P.P., Ponamorev E. A., Cherneva N. V., Buzevich A. V. Subsoil radon and the potential gradient of the atmospheric electric field in the area of the Petropavlovsk-Kamchatsky geodynamic test site in 1998–2005 (Kamchatka), Vestnik KRAUNTS. Seriya nauki o Zemle, 2006. no. 7, pp. 102–109 (In Russian).
  41. Parovik R. I.Model of non-stationary diffusion-advection of radon in the soil-atmosphere system, Vestnik KRAUNTS. Fiziko-matematicheskie nauki, 2010. no. 1(1), pp. 39–45 (In Russian).
  42. Parovik R. I., Firstov P.P. Algorithm for calculating radon (222Rn) flux density from the Earth’s surface, Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, 2008. no. 3(4), pp. 96–101 (In Russian).
  43. Parovik R. I., Firstov P.P. Approbation of a new method for calculating radon flux density from the surface (on the example of the Petropavlovsk-Kamchatsky geodynamic test site), ANRI, 2009. no. 3(58), pp. 52–57 (In Russian).
  44. Yakovleva V. S., Karataev V. D. Radon flux density at the Earth’s surface as a possible indicator of the stress and strain state of the geological environment, Journal of Volcanology and Seismology, 2007. vol. 1, no. 1, pp. 67–70.
  45. Yakovleva V. S., Karataev V. D., Vukolov A. V. [et al.] Methodology of a multifactorial experiment on radon transport processes in the lithosphere-atmosphere system, ANRI, 2009. no. 4(59), pp. 55–60 (In Russian).
  46. Etiope G., Martinelli G. Migration of carrier and trace gases in the geosphere: an overview, Physics of The Earth and Planetary Interiors, 2002. vol. 129, pp. 185–204.
  47. Uchaikin V. V. Self-similar anomalous diffusion and Levy-stable laws, Physics-Uspekhi, 2003. vol. 46, no. 8, pp. 821–849.
  48. Parovik R. I. Mathematical Models of the Non-Classical Theory of the Emanation Method. Petropavlovsk-Kamchatsky: Kamchatka State University named after Vitus Bering, 2014. 80 pp. (In Russian)
  49. Nakhushev A. M. Fractional Calculus and Its Application. Moscow: Fizmatlit, 2003. 272 pp. (In Russian)
  50. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.
  51. Parovik R. I., Shevtsov B. M., Firstov P.P.Model of radon (222Rn) transport in the superdiffusion regime in a fractal medium, Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk, 2008. vol. 10, no. 2, pp. 79–85 (In Russian).
  52. Parovik R. I.On a nonlocal model of diffusion-advection of radon in a fractal medium, Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk, 2009. vol. 11, no. 1, pp. 110–113 (In Russian).
  53. Parovik R. I., Shevtsov B. M. Radon transfer processes in fractional structure medium, Mathematical Models and Computer Simulations, 2010. vol. 2, no. 2, pp. 180–185.
  54. Parovik R. I.Modeling of radon (222Rn) transport processes in media with a fractal structure and its sink into the surface layer of the atmosphere, Vestnik Kamchatskoi regional’noi assotsiatsii Uchebnonauchnyi tsentr. Seriya: Nauki o Zemle, 2008. no. 2(12), pp. 188–193 (In Russian).
  55. Parovik R. I. Nonlocal model of diffusion-advection of radon in the soil-atmosphere system, Matematicheskoe modelirovanie, 2010. vol. 22, no. 9, pp. 95–106 (In Russian).
  56. Parovik R. I. Non-classical models of radon transport in the soil-atmosphere system, Vestnik Rossiiskogo fonda fundamental’nykh issledovanii, 2010. no. 2(66), pp. 27–32 (In Russian).
  57. Parovik R. I. Solution of a nonlocal equation of anomalous diffusion-advection of radon in the soil-atmosphere system, Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 2011. no. 1(2), pp. 38–45 (In Russian).
  58. Parovik R. I. Solution of a nonlocal boundary value problem of diffusion-convective transfer of radioactive substances in the lithosphere-atmosphere system, Uzbek Mathematical Journal, 2025. vol. 69, no. 2, pp. 193–199.
  59. Parovik R. I., Firstov P.P., Makarov E. O. Mathematical modeling of the fractal dimension of the geomedium, Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 2011. no. 2(3), pp. 42–49 (In Russian).
  60. Parovik R. I., Firstov P.P., Makarov E. O.Mathematical modeling of radon volumetric activity for studying the seismic activity of Southern Kamchatka, Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk, 2012. vol. 14, no. 2, pp. 60–67 (In Russian).
  61. Parovik R. I. Mathematical Models of the Classical Theory of the Emanation Method. Petropavlovsk-Kamchatsky: Vitus Bering Kamchatka State University, 2014. 128 pp. (In Russian)
  62. Nazaroff W. W. Radon transport from soil to air, Reviews of Geoph., 1992. vol. 30, no. 2, pp. 137-160.
  63. Tanner A. B. Radon migration in the ground: a review/ The Natural Radiation Environment, University of Chicago Press, 1964, pp. 161–190.
  64. Clements W. E., Wilkening M. H.Atmospheric pressure effects on 222Rn transport across the Earthair interface, Journal of Geophysical Research, 1974. vol. 79, no. 33, pp. 5025–5029.
  65. Schery S. D., Gaeddert D. H. Measurements of the effect of cyclic atmospheric pressure variation on the flux of 222Rn from the soil, Geophysical Research Letters, 1982. vol. 9, no. 8, pp. 835–838.
  66. Sakoda A., Ishimori Y., Yamaoka K.A comprehensive review of radon emanation measurements for mineral, rock, soil, mill tailing and fly ash, Applied Radiation and Isotopes, 2011. vol. 69, no. 10, pp. 1422–1435.
  67. King C. Y. Gas geochemistry applied to earthquake prediction: An overview, Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 1986. vol. 91, no. B12, pp. 12269–12281.
  68. Monnin M. M., Seidel J. L. Radon and geophysics: Recent advances, Nuclear Tracks and Radiation Measurements, 1992. vol. 20, no. 2, pp. 297–305.
  69. Schiff J. L. The Laplace transform: theory and applications: Springer Sci. & Business Media, 1999.
  70. Puchkov A. V. et al. Radon flux density in conditions of permafrost thawing: Simulation experiment, Geography, Environment, Sustainability, 2022. vol. 15, no. 3, pp. 5–18.
  71. Bulashevich Yu.P. Non-stationary problems of diffusion of particles with limited lifetime / Nuclear-Geophysical Research. Sverdlovsk, Institute of Geophysics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, 1975, pp. 42–61 (In Russian).
  72. Klimshin A. V. Determination of radon flux density by the shielding method / Eighth Ural Youth Scientific School on Geophysics: collection of scientific materials, Perm, March 19–23, 2007. Perm, 2007, pp. 119–126 (In Russian).
  73. Beck J.V., Blackwell B., St Clair Ch.R. Inverse heat conduction: Ill-posed problems. New York: A Wiley-Interscience Publications, 1985. 308 pp.
  74. Parovik R. I. Program for processing geophysical data «REKSEM», Telegraf otraslevogo fonda algoritmov i programm, 2007. no. 5(28), pp. 19 (In Russian).
  75. Yakovleva V.S., Parovik R.I. Solution of diffusion-advection equation of radon transport in manylayered geological media, Nukleonika, 2010. vol. 55, no. 4, pp. 601-606.
  76. Hafez Y.I. Understanding radon (222Rn) transport in one and multi-layer soils using analytical and finite element modeling, Journal of Hydrology, 2022.. vol. 610, 127803 DOI: 10.1016/j.jhydrol.2022.127803.
  77. Krizsky V.N., Nafikova A.R. Mathematical modeling of radon diffusion and advection processes in piecewise constant anisotropic layered media with inclusions, Vestn. Yuzhno-Ural. Gos. Univ., Ser.
    Mat. Model., Program., 2014. no. No. 2, pp. 38–45 (In Russian).
  78. Soto-Gómez D., Juíz L. V., Pérez-Rodríguez P., López-Periago J. E., Paradelo M., Koestel J.Percolation theory applied to soil tomography, Geoderma, 2020. vol. 357, pp. 113959.
  79. Spivak A.A., Sukhorukov M. V., Kharlamov V.A.Peculiarities of radon 222Rn emanation with depth, Doklady Earth Sciences, 2008. vol. 421, no. 1, pp. 823-826 DOI: 10.1134/S1028334X08050255.
  80. Prudnikov A.P., Bychkov Yu.A., Marichev O.I. Integrals and Series, Special Functions, vol. 2. New York: Gordon and Breach Science Publishers, 1986. 765 pp.
  81. Novozhenova O. G. Life And Science of Alexey Gerasimov, One of the Pioneers of Fractional Calculus in Soviet Union, Fractional Calculus and Applied Analysis, 2017. vol. 20, pp. 790–809.
  82. Caputo M., Fabrizio M.On the notion of fractional derivative and applications to the hysteresis phenomena, Meccanica, 2017. vol. 52, pp. 3043–3052.
  83. Parovik R. I. Nonlocal model of diffusion-advection of radon in a medium with fractal properties, Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk, 2010. Т. 12, №1, С. 98–101 (In Russian).
  84. Calik A. E., Ertik H., Öder B., Şirin H.A fractional calculus approach to investigate the alpha decay processes, International Journal of Modern Physics E, 2013. vol. 22, no. 07, pp. 1350049.
  85. Popruzhenko S. V., Zubin M. I.Tectonics and seismicity of shelf in the Gulf of Avacha and adjacent areas, Volcanology & Seismology, 1997. no. 2, pp. 211–219.

Информация об авторе

Паровик Роман Иванович — доктор физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник Института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН (с. Паратунка, Россия); ведущий научный сотрудник Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (г. Нальчик, Россия), ORCID 0000-0002-1576-1860.

Читать статьюСкачать