Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 46. №1. C. 9-21. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА       

https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-9-21

Научная статья

Полный текст на русском языке   

УДК 517.91

Содержание выпуска

Read English Version

Об одном способе решения линейных уравнений над евклидовым кольцом

У. М. Пачев ^\ast , А. Х. Кодзоков, А. Г. Езаова, А. А. Токбаева, З. Х. Гучаева

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173, Россия

Аннотация. Линейным уравнениям, т.е. уравнениям первой степени, а также системам из таких уравнений уделяется большое внимание как в алгебре, так в теории чисел. Наибольший интерес представляет случай таких уравнений с целыми коэффициентами и при этом их нужно решать в целых числах. Такие уравнения с указанными условиями называют линейными диофантовыми уравнениями. Еще Эйлер рассматривал способы решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными, причем один из этих способов был основан на применении алгоритма Евклида. Другой способ решения таких уравнений, основанный на цепных дробях, применялся также Лагранжем. Более удобным и перспективным оказался способ Эйлера, чем способ цепных дробей. В настоящей работе рассматривается один новый способ решения линейных уравнений над евклидовым кольцом, основанный на сравнениях по подходящим модулям. Известный ранее матричный метод решения таких уравнений с увеличением числа неизвестных является довольно громоздким в виду того, что он связан с нахождением обратных к унимодулярным целочисленным матрицам. Существенным в нашем способе решения линейных уравнений над евклидовым кольцом является использование алгоритма Евклида и линейного представления НОД элементов в евклидовом кольце. Доказанная в работе теорема применяется к нахождению решения линейного уравнения с тремя неизвестными над кольцом целых гауссовых чисел, являющимся, как известно, евклидовым кольцом. В заключении приводятся замечания о возможных путях дальнейшего развития изложенного исследования.

Ключевые слова: линейное уравнение, евклидово кольцо, алгоритм Евклида, евклидова норма, целые гауссовы числа, сравнение по модулю.

Получение: 30.11.2023; Исправление: 10.01.2024; Принятие: 18.01.2024; Публикация онлайн: 07.03.2024

Для цитирования. Пачев У. М. и др. Об одном способе решения линейных уравнений над евклидовым кольцом // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 46. № 1. C. 9-21. EDN: CZKZBA. https://doi.org/10.26117/2079- 6641-2024-46-1-9-21.

Финансирование. Работа не выполнялась в рамках фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^\ast Корреспонденция: E-mail: urusbi@rambler.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Пачев У. М. и др., 2024

© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972. 68 с.
  2. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М.: Мир, 1980. 425 с.
  3. Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. М.: Наука, 1961.
  4. Фрид Э., Пастор И., Рейман И., Ревес П., Ружа И. Малая математическая энциклопедия. Будапешт: Академия наук Венгрии, 1976. 693 с.
  5. Самсонадзе Э.Т. Формулы для числа решений линейного диофйантового уравнения и неравенства, Труды Тбилисского ун-та, 1983. Т. 239, №2, С. 34-42.
  6. Журавлев Ю.И. Компьютер и задачи выбора. М.: Наука, 1989. 208 с.
  7. Манин Ю.И., Панчишкин А. А. Введение в теорию чисел, Итоги науки и техники. соврем. пробл. матем. фундам. направления. ВИНИТИ, 1990. Т. 49, С. 5-341.
  8. Родосский К. А. Алгоритм Евклида. М.: Наука, 1988. 236 с.
  9. Калужнин Л. А. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973. 447 с.
  10. Пачев У. М., Бесланеев З.О., Кодзоков А.Х. Решатель диофантова уравнения. Государственная
    регистрация программы для ЭВМ: 2015617110,КБГУ, 2015.
  11. Кодзоков А. Х., Бесланеев З. О., Нагоров А. Л., Тхамоков М. Б.О линейных диофантовых
    уравнениях и способах их решения, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 13, №2, С. 18-23.
  12. Мальков И. Н., Мачулис В. В. Неподвижные точки и предельные циклы обобщённой полиномиальной дифференциальной системы Куклеса, Известия вузов. Поволжский регион.
    Физико-математические науки, 2022. №2, С. 3-16.
  13. Боревич З. И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985. 504 с.

Информация об авторах

Пачев Урусби Мухамедович – доктор физико-математических наук, профессор, старший научный сотрудник кафедры aлгебры и дифференциальных уравнений, Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик, Россия, ORCID: 0009-0002-8362-6174.

Кодзоков Азамат Хасанович – старший преподаватель кафедры алгебры и дифференциальных уравнений, институт физики и математики, Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик, Россия, ORCID: 0009-0007-3431-1228.

Езаова Алена Георгиевна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и дифференциальных уравнений, Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик, Россия, ORCID 0009-0004-8691-0706.

Токбаева Альбина Аниуаровна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и дифференциальных уравнений, Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик, Россия, ORCID: 0009-0007-4926-4452.

Гучаева Зера Хамидбиевна – старший преподаватель кафедры алгебры и дифференциальных уравнений, институт физики и математики, Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик, Россия, ORCID 0009-0000-9777-4018.

Читать статьюСкачать статью