Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 71-77. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-71-77

Содержание

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-71-77

УДК 512.24

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧЕК ПОКОЯ ЭРЕДИТАРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ-ДУФФИНГА

Е.Р. Новикова¹, Р. И. Паровик¹²

¹Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
²Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, с. Паратунка, ул. Мирная, 7, Россия
E-mail: elizaveta_333@mail.ru

В работе с помощью численного моделирования построены осциллограммы и фазовые траектории с целью исследования предельных циклов нелинейной колебательной системы Ван-дер-Поля Дуффинга со степенной памятью. Результаты моделирования показали, что в случае отсутствия степенной памяти (α = 2, β = 1) или классической динамической системы Ван-дер-Поля Дуффинга, существует единственный устойчивый предельный цикл, т.е. выполняется теорема Льенара. В случае вязкого трения (α = 2, 0 < β < 1), существует семейство устойчивых предельных циклов различной формы. В остальных случаях происходит разрушение предельного цикла по двум сценариям: бифуркация Хопфа (предельный цикл-предельная точка) или (предельный циклапериодический процесс). Дальнейшее продолжение исследований может быть связано с построением спектра максимальных показателей Ляпунова с целью идентификации хаотических колебательных режимов для рассматриваемой эредитарной динамической системы (ЭДС).

Ключевые слова: предельный цикл, осциллятор Ван-дер-Поля Дуффинга со степенной памятью, бифуркация Хопфа, осциллограммы и фазовые траектории

© Новикова Е. Р, Паровик Р. И., 2019

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта президента РФ № МК-1152.2018.1

MSC 37N10

STUDY POINTS OF REST HEREDITARITY DYNAMIC SYSTEMS VAN DER POL-DUFFING

Е. R. Novikova¹, R. I. Parovik¹²

¹Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia
²Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation FEB RAS, 684034, Kamchatsky Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
E-mail: elizaveta_333@mail.ru

Using numerical modeling, oscillograms and phase trajectories were constructed to study the limit cycles of a van der Pol Duffing nonlinear oscillatory system with a power memory. The simulation results showed that in the absence of a power memory (α = 2, β = 1) or the classical van der Pol Duffing dynamical system, there is a single stable limit cycle, i.e. Lienar theorem holds. In the case of viscous friction (α = 2, 0 < β < 1), there is a family of stable limit cycles of various shapes. In other cases, the limit cycle is destroyed in two scenarios: a Hopf bifurcation (limit cycle-limit point) or (limit cycle-aperiodic process). Further continuation of the research may be related to the construction of the spectrum of Lyapunov maximal exponents in order to identify chaotic oscillatory regimes for the considered hereditary dynamic system (HDS).

Key words: limit cycle, exponential Van der Pol-Duffing oscillator, Hopf bifurcation, oscillograms and phase trajectories

© Novikova E. R, Parovik R. I., 2019

This work was supported by the grant of the President of the Russian Federation No. MK-1152.2018.1.

Список литературы/References

  1. Petras I., Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation, Springer, Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011, 218 pp.
  2. Паровик Р. И., Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов, монография, КамГУ им. Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский, 2017, 134 с. [Parovik R. I., Matematicheskoe modelirovanie nelinejnyh ehreditarnyh oscillyatorov [Mathematical modeling of nonlinear hereditary oscillators], monografiya, KamGU im. Vitusa Beringa, Petropavlovsk-Kamchatskij, 2017 (in Russia), 134 pp.]
  3. Вольтерра В., Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, Наука, M., 1982. [Vol’terra V., Teoriya funkcionalov, integral’nyh i integrodifferencial’nyh uravnenij [Theory of functionals, integral and integro-differential equations], Nauka, M., 1982 (in Russia)].
  4. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nahushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional calculus and its application], Fizmatlit, M., 2003 (in Russia), 272 pp.]
  5. Мейланов Р. П., Янполов М. С., “Особенности фазовой траектории фрактального осциллятора”, Письма в ЖТФ, 28:1 (2002), 67-73. [Meilanov R. P., Yanpolov M. S., “Features of the phase trajectory of a fractal oscillator”, Technical Physics Letters, 28:1 (2002), 30-32 (in Engl. trans.)].
  6. Паровик Р. И., “Задача Коши для нелокального уравнения Матье”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 13:2 (2011), 90-98. [Parovik R. I., “Zadacha Koshi dlya nelokal’nogo uravneniya Mat’e [Cauchy problem for the non-local Mathieu equation]”, Doklady Adygskoj (CHerkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 13:2 (2011), 90-98 (in Russia)].
  7. Паровик Р. И., “Математическая модель фрактального осциллятора Ван-дер-Поля”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:2 (2015), 57- 62. [Parovik R. I., “Matematicheskaya model’ fraktal’nogo oscillyatora Van-der-Polya [Mathematical model of the fractal van der Pol oscillator]”, Doklady Adygskoj (CHerkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 17:2 (2015), 57-62].
  8. Огородников Е. Н., “Математические модели дробных осцилляторов, постановка и структура решения задачи Коши”, Математическое моделирование и краевые задачи. Т. 1, 2009, 177–181. [Ogorodnikov E. N., “Matematicheskie modeli drobnyh oscillyatorov, postanovka i struktura resheniya zadachi Koshi [Mathematical models of fractional oscillators, formulation and structure of the solution of the Cauchy problem]”, Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi. V. 1, 2009, 177–181].
  9. Li S., Niu J., Li X., “Primary resonance of fractional-order Duffing–van der Pol oscillator by harmonic balance method”, Chinese Physics B., 27:12 (2018), 120502.
  10. Novikova E.R., “Van der Pol-Duffing oscillator with the effect of hereditary”, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 17:2 (2017), 65-75. 75 ISSN 2079-6641 Новикова Е. Р, Паровик Р. И.

Список литературы (ГОСТ)

  1. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Springer, 2011. 218 p
  2. Паровик Р.И. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов: монография. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2017. 134 с.
  3. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро дифференциальных уравнений. M.: Наука. 1982.
  4. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  5. Мейланов Р. П., Янполов М. С. Особенности фазовой траектории фрактального осциллятора // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, № 1. С. 67-73.
  6. Паровик Р.И. Задача Коши для нелокального уравнения Матье // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13. № 2. С. 90-98.
  7. Паровик Р.И. Математическая модель фрактального осциллятора Ван-дер-Поля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17. № 2. С. 57-62.
  8. Огородников Е.Н. Математические модели дробных осцилляторов, постановка и структура решения задачи Коши // Математическое моделирование и краевые задачи. 2009. Т. 1. С. 177–181.
  9. Li S., Niu J., Li X. Primary resonance of fractional-order Duffing–van der Pol oscillator by harmonic balance method //Chinese Physics B. – 2018. – Т. 27. – №. 12. – С. 120502.
  10. Novikova E.R. Van der Pol-Duffing oscillator with the effect of hereditary // Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. 2017. Vol. 17, no. 2. P. 65-75.

Для цитирования: Новикова Е. Р, Паровик Р. И. Исследование точек покоя эредитарной динамической системы Ван дер Поля-Дуффинга // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 71-77. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-71-77
For citation: Novikova E. R, Parovik R. I. Study points of rest hereditarity dynamic systems Van der Pol-Duffing, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 26: 1, 71-77. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-71-77

Поступила в редакцию / Original article submitted: 14.02.2019

NovikovaE  Новикова Елизавета Романовна – магистрант 2-го года обучения, направления подготовки «Прикладная математика и информатика»КамГУ им. Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, Россия.
  Novikova Elizaveta Romanovna — undergraduate 2nd year of study, areas of training «Applied Mathematics and Computer Science»Vitus Bering Kamchatka State University, Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia.

1

1

Par   Паровик Роман Иванович – кандидат физико-математических наук, доцент, декан физико-математического факультета, Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга, старший научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов Института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Камчатский край, Паратунка, Россия, ORCID 0000-0002-1576-1860.
    Parovik Roman Ivanovich — Ph.D. (Phys. & Math.), Associate Professor, Dean of the Fac. of Phys. & Math., Vitus Bering Kamchatka State University, Senior Researcher of the Phys. Proc. Modeling Lab. of the Institute of Cosmophysical Research and Propagation of Radio Waves, FEB RAS, Russia, ORCID 0000-0002-1576-1860.

 Скачать статью/Download article Novikova E. R., Parovik R.I.

Количество загрузок/Downloads Счётчик скачиваний. Показано число загрузок этого файла за 30 дней, для получения более подробной статистики кликните на счётчике