Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 1(17). C. 33-43. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2017-17-1-33-43

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.938

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА С УЧЕТОМ ЭРЕДИТАРНОСТИ 

О. Д. Липко

Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
E-mail: lipko_95@list.ru

В работе предложена математическая модель распространения нервного импульса ФитцХью-Нагумо, которая учитывает эффект эредитарности. Эта эредитарная модель описывается интегро-дифференциальным уравнением со степенным ядром – функцией памяти. Алгоритм численного решения этой модели, реализован в компьютерной программе в среде символьной математики Maple. С помощью этой программы были построены расчетные кривые — осциллограммы, а также фазовые траектории в зависимости от различных значений управляющих параметров.

Ключевые слова: эредитарность, модель ФитцХью-Нагумо, конечно-разностная схема.

© Липко О. Д., 2017

MATHEMATICAL MODELING

MSC 34A08

MATHEMATICAL MODEL OF PROPAGATION OF NERVE IMPULSES WITH REGARD HEREDITARITY

O. D. Lipko

Vitus Bering Kamchatka State University, 683032, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia
E-mail: lipko_95@list.ru

A mathematical model of the propagation of the nervous pulse of FitzHugh-Nagumo is proposed, which takes into account the effect of heredity. This hereditary model is described by an integro-differential equation with a power kernel — a function of memory. The algorithm for the numerical solution of this model is implemented in a computer program in the environment of symbolic mathematics Maple. With the help of this program, calculated curves — oscillograms, and also phase trajectories were constructed depending on various values of control parameters.

Keywords: hereditarity Model FitzHugh-Nagumo, finite-difference scheme.

© Lipko O. D., 2017

Работа выполнена по госзаданию, НИР «Применение дробного исчисления в теории колебательных процессов»№AAAA-A17-117031050058-9.

Список литературы/References

  1. Volterra V., “Sur les ’equations int’egro-diff’erentielles et leurs applications”, Acta Mathematica, 35:1 (1912), 295–356.
  2. Учайкин В. В., Метод дробных производных, Артишок, Ульяновск, 2008, 512 с. [Uchajkin V. V., Metod drobnyh proizvodnyh, Artishok, Ul’janovsk, 2008, 512]
  3. Паровик Р. И., Математическое моделирование линейных эредитарных осцилляторов, КамГУ им. Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский, 2015, 178 с. [Parovik R. I., Matematicheskoe modelirovanie linejnyh jereditarnyh oscilljatorov, KamGU im. Vitusa Beringa, Petropavlovsk-Kamchatskij, 2015, 178]
  4. Petras I., Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation, Springer, Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011, 218 с.
  5. FitzHugh R., “Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane”, Biophysical Journal, 1 (1961), 446–446.
  6. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S., “An active pulse transmission line simulating nerve axon”, Proc. IRE, 50 (1962), 2061–2070.
  7. Липко О. Д., “Эредитарное модельное уравнение ФитцХью-Нагумо”, Международный студенческий научный вестник, 2017, №2, 43-43 [Lipko O. D., “Jereditarnoe model’noe uravnenie FitcH’ju-Nagumo”, Mezhdunarodnyj studencheskij nauchnyj vestnik, 2017, №2, 43-43] https://www.eduherald.ru/ru/article/view?id=16890 (дата обращения: 22.04.2017).
  8. Паровик Р. И., “Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением”, Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2015, №1(10), 18–24.[Parovik R.I. Mathematical modeling of nonlocal oscillatory Duffing system with fractal friction. Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. 2015. vol. 10. no 1. С. 16-21.]
  9. Паровик Р. И., “Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван дер Поля”, Фундаментальные исследования, 2016, №3(2), 283–287. [Parovik R. I., “Ob issledovanii ustojchivosti jereditarnogo oscilljatora Van der Polja”, Fundamental’nye issledovanija, 2016, №3(2), 283–287]
  10. Parovik R. I., “Explicit finite-difference scheme for the numerical solution of the model equation of nonlinear hereditary oscillator with variable order fractional derivatives”, Archives of Control Sciences, 26:3 (2016), 429–435.
  11. Паровик Р. И., “Конечно-разностные схемы для фрактального осциллятора с переменными дробными порядками”, Вестник КРАУНЦ. Физико-математический, 2015, №2(11), 88–85. [Parovik R.I. Finite-difference schemes for fractal oscillator with a variable fractional order. Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. 2015. vol. 11. no 2. С. 85-92].

Список литературы (ГОСТ)

  1. Volterra V. Sur les ’equations int’egro-diff’erentielles et leurs applications // Acta Mathematica. 1912. vol. 35. issue 1. pp. 295–356.
  2. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 c.
  3. Паровик Р. И. Математическое моделирование линейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский. КамГУ им. Витуса Беринга. 2015. 178 c.
  4. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Springer, 2011. 218 p.
  5. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophysical Journal. 1961. vol. 1. pp. 446–446.
  6. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc. IRE. 1962. vol. 50. pp. 2061–2070.
  7. Липко О. Д. Эредитарное модельное уравнение ФитцХью-Нагумо // Международный студенческий научный вестник. 2017. № 2. С. 43-43. url: https://www.eduherald.ru/ru/article/view?id=16890 (дата обращения: 22.04.2017)
  8. Паровик Р. И. Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2015. №1(10). С.18–24.
  9. Паровик Р. И. Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван дер Поля // Фундаментальные исследования. 2016. № 3(2). C. 283–287.
  10. Parovik R. I. Explicit finite-difference scheme for the numerical solution of the model equation of nonlinear hereditary oscillator with variable order fractional derivatives. Archives of Control Sciences. 2016. vol. 26. issue 3. pp. 429–435.
  11. Паровик Р. И. Конечно-разностные схемы для фрактального осциллятора с переменными дробными порядками // Вестник КРАУНЦ. Физико-математический. 2015. №2(11). С. 88–85.

Для цитирования: Липко О. Д. Математическая модель распространения нервного импульса с учетом эредитарности // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 1(17). C. 33-43. DOI: 10.18454/2079-6641-2017-17-1-33-43.

For citation: Lipko O. D. Mathematical model of propagation of nerve impulses with regard hereditarity, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2017, 17:1, 33-43. DOI: 10.18454/2079 6641-2017-17-1-33-43.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 22.03.2017

Lipko

   Липко Ольга Дмитриевна – студентка 4 курса направления подготовки «Прикладная математика и информатика»Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга.

  Lipko Olga Dmitrievna – a student of the 4th year of training «Applied Mathematics and Informatics Vitus Bering Kamchatka State University.

Скачать статью Липко О.Д