Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026.Т. 54. №2. C. 38 — 47. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-2-38-47
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.98

Содержание выпуска

Read English Version

C^{\ast}-алгебраическая гипотеза Смейла о среднем значении и дуальная гипотеза о среднем значении Дубинина-Сугавы

К.М. Кришна^{\ast}

Школа математики и естественных наук, Главный кампус Университета Чанакья, NH-648, деревня Харалуру, Северный округ Бангалора, Штат Карнатака, 562110, Индия

Аннотация. Мы разрабатываем C^{\ast}-алгебраические аналоги двух центральных проблем комплексного анализа: гипотезы Смейла о среднем значении и дуальной гипотезы о среднем значении Дубинина-Сугавы. Опираясь на классическую теорему о среднем значении Смейла и ее двойственную формулировку, мы распространяем эти гипотезы на случай коммутативных C^{\ast}-алгебр. Предлагаемая структура определяет алгебраическое дифференцирование для многочленов над C^{\ast}-алгебрами и формулирует как стандартные, так и усиленные версии гипотез. Мы также вводим обобщения высших порядков и динамические расширения, включая C^{\ast}-алгебраический аналог гипотезы о динамике Майлза-Лейтона-Пилигрима. Строгое обоснование проведено для многочленов второй степени, устанавливая справедливость гипотез в этом базовом случае. Результаты подчёркивают глубокую взаимосвязь между структурами операторных алгебр и аналитическими неравенствами, предлагая новые перспективы на давно стоящие проблемы теории многочленов. Работа открывает пути для обобщений на банаховы и фон Neumann алгебры, подчёркивая при этом трудности, связанные с некоммутативными постановками.

Ключевые слова: C^{\ast}-алгебра, теорема о среднем значении Смейла, гипотеза Смейла о среднем значении, дуальная теорема о среднем значении Дубинина–Сугавы, дуальная гипотеза о среднем значении Дубинина-Сугавы.

Получение: 25.06.2026; Исправление: 21.07.2026; Принятие: 08.08.2026; Публикация онлайн: 14.09.2026

Для цитирования. Krishna K.M. C^{\ast}-algebraic Smale mean value conjecture and Dubinin-Sugawa dual mean value conjecture // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026. Т. 54. № 2. C. 38-47. EDN: NMXQAM. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-2-38-47.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: kmaheshak@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Krishna K.M., 2026

© ИКИР ДВО РАН, 2026 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

1. Smale S. The fundamental theorem of algebra and complexity theory., Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 1981. vol. 4, no. 1, pp. 1–36.
2. Rahman Q. I., Schmeisser G. Analytic theory of polynomials, London Mathematical Society Monographs. New Series,, vol. 26. Oxford: The Clarendon Press, Oxford University Press, 2002.
3. Sheil-Small T. Complex polynomials, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 75. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.
4. Morgan J., Tian G. Ricci flow and the Poincare conjecture, Clay mathematics monographs,, vol. 3: American Mathematical Society, Clay Mathematics Institute, 2007.
5. Tucker W.A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem., Found. Comput. Math, 2002. vol. 2, pp. 53–117.
6. Beltran C., Pardo L.On Smale’s 17th problem: A probabilistic positive solution., Found Comput Math, 2008. vol. 8, pp. 1–43.
7. Beltran C., Pardo L. Smale’s 17th problem: Average polynomial time to compute affine and projective solutions., J. Amer. Math. Soc., 2009. vol. 22, no. 2, pp. 363–385.
8. Smale S. Mathematical problems for the next century. / Mathematics: frontiers and perspectives. Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2000, pp. 271–294.
9. Smale S. Mathematical problems for the next century., Math. Intelligencer, 1998. vol. 20, no. 2, pp. 7-15.
10. Smale S.On the efficiency of algorithms of analysis., Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 1985. vol. 13, no. 2, pp. 87–121.
11. Shub M., Smale S. Computational complexity. On the geometry of polynomials and a theory of cost. I., Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 1985. vol. 18, no. 1, pp. 107–142.
12. Shub M., Smale S. Computational complexity: on the geometry of polynomials and a theory of cost. II., SIAM J. Comput., 1986. vol. 15, no. 1, pp. 145–161.
13. Tischler D. Critical points and values of complex polynomials., J. Complexity, 1989. vol. 5, no. 4, pp. 438–456.
14. Sendov B., Marinov P.Verification of Smale’s mean value conjecture for n ≤ 10., C. R. Acad. Bulgare Sci., 2007. vol. 60, no. 11, pp. 1151–1156.
15. Andrievskii V.V., Ruscheweyh S. Complex polynomials and maximal ranges: background and applications. /Recent progress in inequalities (Niš, 1996), Math. Appl., vol. 430. Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 1998, pp. 31–54.
16. Hinkkanen A., Kayumov I.On critical values of polynomials with real critical points., Constr. Approx., 2010. vol. 32, no. 2, pp. 385–392.
17. Hinkkanen A., Kayumov I. Smale’s problem for critical points on certain two rays., J. Aust. Math. Soc., 2010. vol. 88, no. 2, pp. 183–191.
18. Beardon A. F., Minda D., Ng T. W. Smale’s mean value conjecture and the hyperbolic metric., Math. Ann., 2002. vol. 322, no. 4, pp. 623–632.
19. Fujikawa E., Sugawa T. Geometric function theory and Smale’s mean value conjecture., Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 2006. vol. 82, no. 7, pp. 97–100 DOI: 10.3792/pjaa.82.97.
20. Conte A., Fujikawa E., Nikola Lakic N. Smale’s mean value conjecture and the coefficients of univalent functions., Proc. Amer. Math. Soc., 2007. vol. 135, no. 10, pp. 3295–3300.
21. Crane E.A bound for Smale’s mean value conjecture for complex polynomials., Bull. Lond. Math. Soc., 2007. vol. 39, no. 5, pp. 781–791.
22. Crane E. Extremal polynomials in Smale’s mean value conjecture., Comput. Methods Funct. Theory, 2006. vol. 6, no. 1, pp. 145–163.
23. Ng T. W. Smale’s mean value conjecture for odd polynomials., J. Aust. Math. Soc., 2003. vol. 75, no. 3, pp. 409–411.
24. Dubinin V. N. Inequalities for critical values of polynomials., Sbornik: Mathematics, 2006. vol. 197, no. 8, pp. 1167–1176.
25. Sendov Bl. Generalization of the Smale’s mean value conjecture., C. R. Acad. Bulgare Sci., 2002. vol. 55, no. 11, pp. 5–10.
26. Sendov Bl, Nikolov N.Variations of Smale’s mean value conjecture., C. R. Acad. Bulgare Sci., 2003. vol. 56, no. 11, pp. 9–14.
27. Tischler D.Perturbations of critical fixed points of analytic maps., Asterisque, 1994. no. 222, pp. 407-422.
28. Tyson J. T. Counterexamples to Tischler’s strong form of Smale’s mean value conjecture., Bull. London Math. Soc., 2005. vol. 37, no. 1, pp. 95–106.
29. Ng T. W., Tsang C. Y. Polynomials versus finite Blaschke products. / Blaschke Products and Their Applications, Fields Institute Communications, vol. 65. Boston, MA, Springer, 2013, pp. 249–274.
30. Ng T.-W., Zhang Y. Smale’s mean value conjecture for finite Blaschke products., J. Anal., 2016. vol. 24, no. 2, pp. 331–345.
31. Dimitrov D.K. Smale’s conjecture on mean values of polynomials and electrostatics., Serdica Math. J., 2007. vol. 33, no. 4, pp. 399–410.
32. Miles-Leighton H., Pilgrim K.M. Smale’s mean value conjecture and complex dynamics., Comput. Methods Funct. Theory, 2012. vol. 12, no. 2, pp. 559–563.
33. Dubinin V., Sugawa T. Dual mean value problem for complex polynomials., Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 2009. vol. 85, no. 9, pp. 135–137 DOI: 10.3792/pjaa.85.135.
34. Dubinin V. N. Methods of geometric function theory in classical and modern problems for polynomials., Uspekhi Mat. Nauk, 2012. vol. 67, no. 4(406), pp. 3–88.
35. Dubinin V. N.On the dual mean-value conjecture for complex polynomials., Math. Notes, 2019. vol. 106, pp. 133–135.
36. Hinkkanen A., Kayumov I.R., Khammatova D.M. Dual Smale’s mean value conjecture., Proc. Amer. Math. Soc., 2019. vol. 147, no. 12, pp. 5227–5237.

---

Информация об авторе

---