Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026.Т. 54. №1. C. 56 — 63. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-1-56-63
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.98

Содержание выпуска

Read English Version

C^{\ast}-алгебраическая теорема Гаусса-Лукаса и C^{\ast}-алгебраическая гипотеза Сендова

К. М. Кришна^{\ast}

Факультет математики и естественных наук Главный кампус Университета Чанакья, NH-648, деревня Харалуру, Северный округ Бангалора, Штат Карнатака, 562110, Индия

Аннотация. Опираясь на фундаментальный результат, установленный Робертсоном в 1976 г., мы разрабатываем структуру для дифференцирования отображений, определенных на конкретных классах унитарных коммутативных C^{\ast}-алгебр. Эта конструкция позволяет нам расширить классические аналитические идеи на C^{\ast}-алгебраическую среду, тем самым обогащая взаимодействие между теорией операторов и комплексным анализом. В рамках этой структуры мы выводим C^{\ast}-алгебраический аналог теоремы Гаусса–Лукаса, которая традиционно описывает геометрическое расположение нулей многочленов относительно их производных. Кроме того, мы предлагаем C^{\ast}-алгебраическую версию гипотезы Сендова, давней проблемы в комплексном анализе, касающейся близости критических точек к нулям многочленов. Наша формулировка адаптирует эту гипотезу к алгебраическому контексту и дает новые представления о ее структуре. В качестве конкретного подтверждения мы доказываем справедливость C^{\ast}-алгебраической гипотезы Сендова для всех многочленов второй степени, тем самым предоставляя доказательства ее более широкой применимости.

Ключевые слова: гипотеза Сендова, C^{\ast}-алгебра, теорема Гаусса-Лукаса.

Получение: 01.12.2025; Исправление: 02.02.2026; Принятие: 05.02.2026; Публикация онлайн: 29.03.2026

Для цитирования. Krishna K. M. C*-algebraic Gauss-Lucas theorem and C*-algebraic Sendov’s conjecture // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026. Т. 54. № 1. C. 56-63. EDN: EILBHL. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-1-56-63.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast} Корреспонденция: E-mail: kmaheshak@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Krishna K. M., 2026

© ИКИР ДВО РАН, 2026 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Hayman W. K. Research problems in function theory. London: The Athlone Press, 1967.
  2. Marden M. Conjectures on the critical points of a polynomial, Amer. Math. Monthly, 1983. vol. 90, no. 4, pp. 267–276 DOI: 10.1080/00029890.1983.11971207.
  3. Rahman Q. I., Schmeisser G. Analytic theory of polynomials, London Mathematical Society Monographs. New Series, vol. 26. Oxford: The Clarendon Press, Oxford University Press, 2002.
  4. Brannan D. A.On a conjecture of Ilieff, Proc. Cambridge Philos. Soc., 1968. vol. 64, pp. 83–85 DOI: 10.1017/S0305004100042596.
  5. Rubinstein Z.On a problem of Ilieff, Pacific J. Math., 1968. vol. 26, pp. 159–161 DOI: 10.2140/pjm.1968.26.159.
  6. Meir A., Sharma A.On Ilieff’s conjecture, Pacific J. Math., 1969. vol. 31, pp. 459–467 DOI: 10.2140/pjm.1969.31.459.
  7. Katsoprinakis E. S.On the Sendov–Ilieff conjecture, Bull. London Math. Soc., 1996. vol. 28, no. 6, pp. 605–612 DOI: 10.1112/blms/28.6.605.
  8. Borcea I.On the Sendov conjecture for polynomials with at most six distinct roots, J. Math. Anal. Appl., 1996. vol. 200, no. 1, pp. 182–206 DOI: 10.1006/jmaa.1996.0198.
  9. Brown J. E.A proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree seven, Complex Variables Theory Appl., 1997. vol. 33, no. 1-4, pp. 75–95 DOI: 10.1080/17476939708815013.
  10. Brown J. E., Xiang G. Proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree at most eight, J. Math. Anal. Appl., 1999. vol. 232, no. 2, pp. 272–292 DOI: 10.1006/jmaa.1999.6267.
  11. Tao T. Sendov’s conjecture for sufficiently high degree polynomials, Acta Math., 2022. vol. 229, no. 2, pp. 347–392 DOI: 10.4310/ACTA.2022.v229.n2.a3.
  12. Borcea I. The Sendov conjecture for polynomials with at most seven distinct zeros, Analysis, 1996. vol. 16, no. 2, pp. 137–159 DOI: 10.1524/anly.1996.16.2.137.
  13. Brown J. E.On the Sendov conjecture for sixth degree polynomials, Proc. Amer. Math. Soc., 1991. vol. 113, no. 4, pp. 939–946 DOI: 10.1090/S0002-9939-1991-1081693-X.
  14. Brown J. E.On the Ilieff–Sendov conjecture, Pacific J. Math., 1988. vol. 135, no. 2, pp. 223–232 DOI: 10.2140/pjm.1988.135.223.
  15. Bojanov B. Extremal problems for polynomials in the complex plane / Approximation and computation. In Honor of Gradimir V. Milovanović, vol. 42. N-Y, Springer, 2010, pp. 61–85.
  16. Schmeisser G. Bemerkungen zu einer Vermutung von Ilieff, Math. Z., 1969. vol. 111, pp. 121–125 DOI: 10.1007/BF01111192.
  17. Degot J. Sendov conjecture for high degree polynomials, Proc. Amer. Math. Soc., 2014. vol. 142, no. 4, pp. 1337–1349 DOI: 10.1090/S0002-9939-2014-11888-0.
  18. Chalebgwa T.P. Sendov’s conjecture: a note on a paper of Degot, Anal. Math., 2020. vol. 46, no. 3, pp. 447–463 DOI: 10.1007/s10476-020-0050-x.
  19. Goodman A. W., Rahman Q. I., Ratti J. S.On the zeros of a polynomial and its derivative, Proc. Amer. Math. Soc., 1969. vol. 21, pp. 273–274 DOI: 10.1090/S0002-9939-1969-0239062-6.
  20. Miller M. J.On Sendov’s conjecture for roots near the unit circle, J. Math. Anal. Appl., 1993. vol. 175, no. 2, pp. 632–639 DOI: 10.1006/jmaa.1993.1194.
  21. Chijwa T.A quantitative result on Sendov’s conjecture for a zero near the unit circle, Hiroshima Math. J., 2011. vol. 41, no. 2, pp. 235–273 DOI: 10.32917/hmj/1314204564.
  22. Kasmalkar I. G.On the Sendov conjecture for a root close to the unit circle, Aust. J. Math. Anal. Appl., 2014. vol. 11, no. 1, 34.
  23. Joyal A.On the zeros of a polynomial and its derivative, J. Math. Anal. Appl., 1969. vol. 26, pp. 315–317 DOI: 10.1016/0022-247X(69)90155-3.
  24. Vajaitu V., Zaharescu A. Ilyeff’s conjecture on a corona, Bull. London Math. Soc., 1993. vol. 25, no. 1, pp. 49–54 DOI: 10.1112/blms/25.1.49.
  25. Miller M. J.A quadratic approximation to the Sendov radius near the unit circle, Trans. Amer. Math. Soc., 2005. vol. 357, no. 3, pp. 851–873 DOI: 10.1090/S0002-9947-04-03766-3.
  26. Miller M. J. Unexpected local extrema for the Sendov conjecture, J. Math. Anal. Appl., 2008. vol. 348, no. 1, pp. 461–468 DOI: 10.1016/j.jmaa.2008.07.049.
  27. Saff E. B., Twomey J. B.A note on the location of critical points of polynomials, Proc. Amer. Math. Soc., 1971. vol. 27, pp. 303–308 DOI: 10.1090/S0002-9939-1971-0271312-1.
  28. Miller M. J. Maximal polynomials and the Ilieff–Sendov conjecture, Trans. Amer. Math. Soc., 1990. vol. 321, no. 1, pp. 285–303 DOI: 10.1090/S0002-9947-1990-0965744-X.
  29. Borcea J.Two approaches to Sendov’s conjecture, Arch. Math. (Basel), 1998. vol. 71, no. 1, pp. 46–54 DOI: 10.1007/s000130050232.
  30. Rahman Q. I., Tariq Q. M.On a problem related to the conjecture of Sendov about the critical points of a polynomial, Canad. Math. Bull., 1987. vol. 30, no. 4, pp. 476–480 DOI: 10.4153/CMB-1987-070-9.
  31. Goodman A. W.On the derivative with respect to a point, Proc. Amer. Math. Soc., 1987. vol. 101, no. 2, pp. 327–330 DOI: 10.1090/S0002-9939-1987-0902551-3.
  32. Pawlowski P.On the zeros of a polynomial and its derivatives, Trans. Amer. Math. Soc., 1998. vol. 350, no. 11, pp. 4461–4472 DOI: 10.1090/S0002-9947-98-02291-0.
  33. Miller M. J. Continuous independence and the Ilieff–Sendov conjecture, Proc. Amer. Math. Soc., 1992. vol. 115, no. 1, pp. 79–83 DOI: 10.1090/S0002-9939-1992-1113647-X.
  34. Chijwa T.A quantitative result on polynomials with zeros in the unit disk, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 2010. vol. 86, no. 10, pp. 165–168 DOI: 10.3792/pjaa.86.165.
  35. Schmieder G., Szynal J.On the distribution of the derivative zeros of a complex polynomial, Complex Var. Theory Appl., 2002. vol. 47, no. 3, pp. 239–241 DOI: 10.1080/02781070290001373.
  36. Daepp U., Gorkin P., Voss K.Poncelet’s theorem, Sendov’s conjecture, and Blaschke products, J. Math. Anal. Appl., 2010. vol. 365, no. 1, pp. 93–102 DOI: 10.1016/j.jmaa.2009.09.058.
  37. Bojanov B. D., Rahman Q. I., Szynal J.On a conjecture of Sendov about the critical points of a polynomial, Math. Z., 1985. vol. 190, no. 2, pp. 281–285 DOI: 10.1007/BF01160464.
  38. Byrne A. Some results for the Sendov conjecture, J. Math. Anal. Appl., 1996. vol. 199, no. 3, pp. 754– 768 DOI: 10.1006/jmaa.1996.0173.
  39. Byrne A. Results pertaining to the Sendov conjecture, J. Math. Anal. Appl., 1997. vol. 212, no. 2, pp. 333–342 DOI: 10.1006/jmaa.1997.5500.
  40. Choi D., Lee S. Non-Archimedean Sendov’s Conjecture, p-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl., 2022. vol. 14, no. 1, pp. 77–80 DOI: 10.1134/S2070046622010058.
  41. Krishna K. M. C*-algebraic Schur product theorem, Polya–Szegő–Rudin question and Novak’s conjecture, J. Korean Math. Soc., 2022. vol. 59, no. 4, pp. 789–804.
  42. Bratteli O., Jorgensen P. E. T., Kishimoto A., Robinson D. W.A C*-algebraic Schoenberg theorem, Ann. Inst. Fourier, 1984. vol. 34, no. 3, pp. 155–187 DOI: 10.5802/aif.981.
  43. Belavkin V.P., Staszewski P. C*-algebraic generalization of relative entropy and entropy, Ann. Inst. Henri Poincaré, Nouv. Sér., Sect. A, 1982. vol. 37, pp. 51–58.
  44. Berzi V. Remarks on the Goldstone theorem in the C*-algebraic approach, Lett. Math. Phys., 1981. vol. 5, pp. 373–377 DOI: 10.1007/BF02285308.
  45. Robertson G.On the density of the invertible group in C*-algebras, Proc. Edinburgh Math. Soc., 1976. vol. 20, no. 2, pp. 153–157 DOI: 10.1017/S001309150001066X.

Информация об авторе

Кришна Махеш – PhD по физико-математическим наукам, доцент, факультет математики и естественных наук, глобальный кампус Университета Чанакья, Харалуру, Индия, ORCID 0000-0003-4872-8634.

Reda articleСкачать статью