Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 33. № 4. C. 37-50. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска/Contents of this issue

Научная статья

УДК 517.95

Вторая краевая задача в полуполосе для B-параболического уравнения с производной Герасимова-Капуто по времени

Ф. Г. Хуштова

Институт прикладной математики и автоматизации – филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук», 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А

E-mail: khushtova@yandex.ru

В работе исследуется вторая краевая задача в полуполосе для параболического уравнения с оператором Бесселя, действующим по пространственной переменной, и частной производной Герасимова–Капуто по времени. Доказаны теоремы существования и единственности решения рассматриваемой задачи. Представление решения найдено в терминах интегрального преобразования с функцией Райта в ядре. Единственность решения доказана в классе функций быстрого роста. При частных значениях параметров, содержащихся в рассматриваемом уравнении, последнее совпадает с
классическим уравнением диффузии.

Ключевые слова: дробная производная, оператор Бесселя, функция Райта, функция Бесселя.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-33-4-37-50

Поступила в редакцию: 16.11.2020

В окончательном варианте: 10.12.2020

Для цитирования. Хуштова Ф. Г. Вторая краевая задача в полуполосе для B-параболического уравнения с производной Герасимова-Капуто по времени // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 33. № 4. C. 37-50. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-33-4-37-50

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Хуштова Ф. Г., 2020

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Research Article

MSC 35C05, 35K20, 35R11

The second boundary value problem in a half-strip for a B-parabolic equation with the Gerasimov–Caputo time derivative

F. G. Khushtova

Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Centre of RAS, 360000, Nalchik, Shortanov st., 89A, Russia

E-mail: khushtova@yandex.ru

In the present paper, we investigate the second boundary value problem in a half-strip for a parabolic equation with the Bessel operator acting with respect to the spatial variable and the Gerasimov–Caputo partial time derivative. Theorems of existence and uniqueness of the solution of the problem under consideration are proved.The solution representation is found in terms of an integral transform with the Wright function in the kernel. The uniqueness of the solution is proved in the class of functions of rapid growth. The considered equation for particular values of the parameters coincides with the classical diffusion equation.

Key words: fractional derivative, Bessel operator, Wright function, Bessel function.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-33-4-37-50

Original article submitted: 16.11.2020 Revision submitted: 10.12.2020

For citation. Khushtova F. G. The second boundary value problem in a half-strip for a Bparabolic equation with the Gerasimov–Caputo time derivative. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020, 33: 4, 37-50. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-33-4-37-50

Competing interests. The author declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. The author contributed to this article. The author is solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by the author.
The content is published under the terms of the Creative Commons

Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Khushtova F. G., 2020

Список литература/References

1. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nakhushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie (Fractional calculus and its application), Fizmatlit, Moskva, 2003 (in Russian), 272 pp.]
2. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Мн., 1987, 688 с. [Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I.,, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science Publishers, Switzerland, 1993, 976 pp.]
3. Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pskhu A. V., Uravneniya v chastnyh proizvodnyh drobnogo poryadka (Fractional partial differential equations), Nauka, Moskva, 2005, 199 pp.] [in Russian. ].
4. Килбас А. А., Теория и приложения дифференциальных уравнений дробного порядка (курс лекций), Методологическая школа-конференция «Математическая физика и нанотехнологии», Самара, 2009. [Kilbas A.A., Teoriya i prilozheniya differencial’nyh uravnenij drobnogo poryadka (kurs lekcij), Metodologicheskaya shkola-konferenciya «Matematicheskaya fizika i nanotekhnologii» publaddr Samara, 2009 (in Russian), 121 pp.]
5. Новоженова О. Г., Биография и научные труды Алексея Никифоровича Герасимова. О линейных операторах, упруго-вязкости, элевтерозе и дробных производных, Перо, М., 2018, 235 с. [Novozhenova O. G., Biografiya i nauchnye trudy Alekseya Nikiforovicha Gerasimova. O linejnyh operatorah, uprugo-vyazkosti, elevteroze i drobnyh proizvodnyh (Biography and scientific works of Alexei Nikiforovich Gerasimov. Linear operators, elastic-viscosity, eleutherosis and fractional derivatives), Pero, Moscow, 2018 (in Russian), 235 pp.]
6. Киприянов И. А., Катрахов В. В., Ляпин В. М., “О краевых задачах в областях общего вида для сингулярных параболических систем уравнений”, ДАН СССР, 230:6 (1976), 1271–1274. [Kipriyanov I. A., Katrakhov V. V., Lyapin V. M., “On boundary value problems in domains of general type for singular parabolic systems of equations”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 230:6 (1976), 1271–1274 (in Russian)].
7. Киприянов И. А., Сингулярные эллиптические краевые задачи, Наука, М., 1997, 208 с. [Kipriyanov I. A., Singulyarnye ellipticheskie kraevye zadachi (Singular elliptic boundary value problems), Nauka, Moskva, 1997 (in Russian), 208 pp.]
8. Муравник А. Б., “Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши”, Современная математика. Фундаментальные направления, 52 (2014), 3–141. [Muravnik A. B., “Functional differential parabolic equations: integral transformations and qualitative properties of solutions of the Cauchy problem”, Journal of Mathematical Sciences, 216:3 (2016), 345–496].
9. Псху А. В., “Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка”, Известия РАН. Серия математическая, 73:2 (2009), 141–182. [Pskhu A.,V., “The fundamental solution of a diffusion-wave equation of fractional order”, Izvestiya: Mathematics, 73:2 (2009), 351–392].
10. Kochubei A. N., “Cauchy problem for fractional diffusion-wave equations with variable coefficients”, Applicable Analysis., 93:10 (2014), 2211–2242.
11. Luchko Y., Mainardi F., “Cauchy and signaling problems for the time-fractional diffusionwave equation”, Journal of Vibration and Acoustics, 136:5 (2014), 1–7.
12. Псху А. В., “Первая краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения в нецилиндрической области”, Известия РАН. Серия математическая, 81:6 (2017), 158–179. [Pskhu A. V., “The first boundary-value problem for a fractional diffusion-wave equation in a non-cylindrical domain”, Izvestiya: Mathematics, 81:6 (2017), 1212–1233].
13. Lucena L. S., Da Silva L. R., Tateishi A. A., Lenzi M. K., Ribeiro H. V., Lenzi E. K., “Solutions for a fractional diffusion equation with noninteger dimensions”, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 13:4 (2012), 1955–1960.
14. Korbel J., Luchko Y., “Modeling of financial processes with a space-time fractional diffusion equation of varying order”, Fractional Calculus and Applied Analysis, 19:6 (2016), 1414–1433.
15. Razminia K., Razminia A., Baleanu D., “Fractal-fractional modelling of partially penetrating wells”, Chaos, Solitons and Fractals, 119 (2019), 135–142.
16. Кузнецов Д. С., Специальные функции, Высшая школа, М., 1965, 248 с. [Kuznecov D. S., Special’nye funkcii (Special functions), Moskva, Vysshaya shkola, 1965 (in Russian), 424 pp.]
17. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, Физматлит, М., 1963, 358 с. [Lebedev N. N., Special’nye funkcii i ih prilozheniya (Special functions and their applications), Moskva, Fizmatlit, 1963 (in Russian), 358 pp.]
18. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И., Интегралы и ряды. Специальные функции. Т. 2, Наука, М., 1983, 752 с. [Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I., Integraly i ryady. Special’nye funkcii. (Integrals and series. Special functions). V. 2, Nauka, Moskva, 1983 (in Russian), 752 pp.]
19. Gorenflo R., Luchko Y., Mainardi F., “Analytical properties and applications of the Wright function”, Fract. Calc. Appl. Anal., 2:4 (1999), 383–414.
20. Хуштова Ф. Г., “Задача Коши для уравнения параболического типа с оператором Бесселя и частной производной Римана–Лиувилля”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 20:1 (2016), 74–84. [Khushtova F.G., “Cauchy problem for a parabolic
    equation with Bessel operator and Riemann–Liouville partial derivative”, J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci., 20:1 (2016), 74–84 (in Russian)].
21. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И., Интегралы и ряды. Дополнительные главы. Т. 3, Наука, М., 1986, 800 с. [Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I.,, Integraly i ryady. Dopolnitel’nye glavy (Integrals and series. Additional chapters). V. 3, Nauka, Moskva, 1986 (in Russian), 800 pp.]
22. Kilbas A. A., Saigo M., H-Transform. Theory and Applications, D.C. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton-London-New York-Washington, 2004, 408 pp.
23. Mathai A.M., Saxena R.K., Haubold H.J., The H-Function. Theory and Applications, Springer, 2010, 270 pp.
24. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, Наука, М., 1969, 800 с. [Fikhtengol’ts G. M., Kurs differentsial’nogo i integral’nogo ischisleniya (A course of differential and integral calculus). V. 2, Nauka, Moskva, 1969 (in Russian), 800 pp.]
25. Хуштова Ф. Г., “Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии дробного порядка”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 19:4 (2015), 722–735. [Khushtova F. G., “Fundamental solution of the model equation of anomalous diffusion of fractional order”, J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci., 19:4 (2015), 722–735 (in Russian)].
26. Wright E.M., “On the coefficients of power series having exponential singularities”, Journal of the London Mathematical Society, s1-8:1 (1933), 71–79.
27. Wright E.M., “The generalized Bessel function of order greater than one”, The Quarterly Journal of Mathematics, os-11:1 (1940), 36–48.