Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 2(18). C. 20-40. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2017-18-2-20-40

УДК 517.2/3, 517.956

О НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЯХ СВОЙСТВ ОПЕРАТОРА ЭРДЕЙИ-КОБЕРА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Ш.Т. Каримов

Ферганский государственный университет, 150100, Узбекистан г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19
E-mail: shkarimov09@rambler.ru

В работе доказано композиция обобщенного оператора Эрдейи-Кобера с дифференциальными операторами высокого порядка. Применяя доказанные теоремы, построена явная формула решения аналога сингулярной задачи Коши для итерированного уравнения Клейна-Гордона-Фока.

Ключевые слова: оператор Эрдейи — Кобера, дифференциальный оператор Бесселя, уравнения Клейна-Гордона-Фока

© Каримов Ш. Т., 2017

MSC 26A33, 35L10

ABOUT SOME GENERALIZATIONS OF THE PROPERTIES OF THE ERD´ELYI-KOBER OPERATOR AND THEIR APPLICATION

Sh. T. Karimov

Ferghana State University, 150100, Uzbekistan, Ferghana, 19, Murabbiylar str.,
E-mail: shkarimov09@rambler.ru

In this work a composition of Erd´elyi-Kober operator with differential operators of the high order is proved. Applying the proved theorems, explicit formulas of a solution of the analogue of the singular Cauchy problem for the iterated Klein-Gordon-Fock equation.

Key words: Erde´ lyi-Kober operator, Bessel differential operator, Klein-Gordon-Fock equation

© Karimov Sh. T., 2017

Список литературы

  1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И., Интегралы и производные дробного порядка и их приложения, Наука и техника, Минск, 1987. [Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Integraly i proizvodnye drobnogo porjadka i ih prilozhenija. Minsk: Nauka i tehnika,1987. ].
  2. Sneddon I. N., Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory, North-Holland Publ., Amsterdam, 1966.
  3. Kiryakova V., Generalized Fractional Calculus and Applications., Long-man Sci. & Technical and J. Wiley & Sons, Harlow, N. York, 1994.
  4. Erd´elyi A., “On fractional integration and its application to the theory of Hankel transforms”, Quart. J. Math. Oxford ser., 11:44 (1940), 293–303.
  5. Erd´elyi A., Kober H., “Some remarks on Hankel transforms”, Quart. J. Math. Oxford ser., 11:43 (1940), 212–221.
  6. Erd´elyi A., “An application of fractional integrals”, J. Analyse Math., 14:44 (1965), 113–126.
  7. Erd´elyi A., “Axially symmetric potentials and fractional integration”, J. Soc. Industr. and Appl. Math., 13:1 (1965), 216–228.
  8. Erd´elyi A., “On the Euler-Poisson-Darboux equation”, J. Analyse Math., 23 (1970), 89–102.
  9. Sneddon I. N., “The use in mathematical analysis of Erd´elyi-Kober’ operators and of some of their applications.”, In: Fractional Calculus and Its Applications, Proc., Publ. as: Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1975, 37–79.
  10. Lowndes J. S., “A generalization of the Erd´elyi-Kober operators”, Proc. Edinb. Math. Soc., 17:2 (1970), 139–148.
  11. Lowndes J. S., “An application of some fractional integrals”, Proc. Edinb. Math. Soc., 20:1 (1979), 35–41.
  12. Lowndes J. S., “Cauchy problems for second order hyperbolic differential equations with constant coefficients”, Proc. Edinb. Math. Soc., 26:3 (1983), 307–311.
  13. Heywood P., “Improved boundedness conditions for Lowndes’ operators”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, A, 73:9 (1975), 291–299.
  14. Heywood P. , Rooney P. G., “On the boundedness of Lowndes’ operators”, J. London Math. Soc., 10:2 (1975), 241–248.
  15. Weinstein A., “The generalized radiation problem and the Euler-Poisson-Darboux equation”, Summa Brasil Math., 3 (1955), 125–147.
  16. Weinstein A., “On a singular differential operator”, Ann.mat. pura ed appl., 49:4 (1960), 359–365.
  17. Полянин А. Д., Справочник по линейным уравнениям математической физики, ФИЗМАТЛИТ, М., 2001. [Poljanin A. D. Spravochnik po linejnym uravnenijam matematicheskoj fiziki. Moskva. FIZMATLIT, 2001 ].
  18. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И., Интегралы и ряды. Элементарные функции, 2-е изд., исправ. Т. 1, ФИЗМАТЛИТ, М., 2002. [Prudnikov A. P., Brychkov Ju. A., Marichev O. I. Integraly i rjady. Jelementarnye funkcii. vol. 1. 2-e izd., isprav. Moskva. FIZMATLIT, 2002 ].
  19. Ильин В. А., Позняк Э. Г, Основы математического анализа, В 2-х ч.: Учеб.: Для вузов. — 7-е изд.. Т. 1, ФИЗМАТЛИТ, М., 2005. [Il’in V. A., Poznjak Je.G Osnovy matematicheskogo analiza Ch.1. V 2-h ch.: Ucheb.: Dlja vuzov. 7-e izd. Moskva. FIZMATLIT, 2005 ].
  20. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, 2, Наука, М., 1973. [Bejtmen G., Jerdeji A. Vysshie transcendentnye funkcii. 2. Moskva. Nauka. 1973 ].
  21. Бицадзе А. В., Избранные труды, Издательство Учреждения РАН Кабардино- Балкарского научного центра РАН, Нальчик, 2012. [Bicadze A.V. Izbrannye trudy.
    Nal’chik: Izdatel’stvo Uchrezhdenija RAN Kabardino-Balkarskogo nauchnogo centra RAN. 2012 ].
  22. Жегалов В. И., “Краевая задача для уравнения смешанного типа высшего порядка”, ДАН СССР, 136:2 (1962), 274–276. [Zhegalov V. I. Kraevaja zadacha dlja uravnenija smeshannogo tipa vysshego porjadka. DAN SSSR. 1962. vol. 136. no. 2. 274-276 ].
  23. Смирнов М. М., Модельное уравнение смешанного типа четвертого порядка, Издво ЛГУ, Ленинград, 1972. [Smirnov M. M. Model’noe uravnenie smeshannogo tipa chetvertogo porjadka. Leningrad. Izd-vo LGU, 1972 ].
  24. Мередов М. М., “О единственности решения краевых задач для уравнения смешанного тип четвертого порядка”, Известия АН Туркм. ССР. Серия физ.-техн., хим. и геол. наук, 1967, №4, 11–16. [Meredov M. M. O edinstvennosti reshenija kraevyh zadach dlja uravnenija smeshannogo tip chetvertogo porjadka. Izvestija AN Turkm. SSR. Serija fiz.- tehn., him. i geol. nauk. 1967. no 4. 11–16 ].
  25. Жегалов В. И., “Об одном направлении в теории уравнений с частными производными”, Материалы Международн. научн. конф. «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций,»Казань, 29 сентября — 1 октября, 2014 (Издво Казанск. матем. о-ва), 2014, 13–15. [Zhegalov V. I. Ob odnom napravlenii v teorii uravnenij s chastnymi proizvodnymi. Materialy Mezhdunarodn. nauchn. konf. «Kraevye zadachi dlja differencial’nyh uravnenij i analiticheskih funkcij,»Kazan’, 29 sentjabrja — 1 oktjabrja, 2014 (Izd-vo Kazansk. matem. o-va). 2014. 13–15 ].
  26. Сабитов К. Б., “О положительности решения неоднородного уравнения смешанного типа высшего порядка”, Международн. научн. конф. Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций (Материалы, Казань, 29 сентября — 1 октября, 2014), 2014, 64–67. [Sabitov K. B. O polozhitel’nosti reshenija neodnorodnogo uravnenija smeshannogo tipa vysshego porjadka. Materialy Mezhdunarodn. nauchn. konf. Kraevye zadachi dlja differencial’nyh uravnenij i analiticheskih funkcij. Kazan’, 29 sentjabrja — 1 oktjabrja, 2014. 64–67 ].
  27. Гальперин С. А., Кондрашов В. Е., “Задача Коши для дифференциальных операторов, распадающихся на волновые множители”, Труды Московского мат. общества, 16 (1967), 109–136. [Gal’perin S. A., Kondrashov V. E. Zadacha Koshi dlja differencial’nyh operatorov, raspadajushhihsja na volnovye mnozhiteli. Trudy Moskovskogo mat. obshhestva. 1967. no 16. 109–136 ].
  28. Алдашев С. А., “О задаче Коши для операторов распадающихся на множители с особенностями”, Дифференциальные уравнения, 17:2 (1981), 247–255. [Aldashev S. A. O zadache Koshi dlja operatorov raspadajushhihsja na mnozhiteli s osobennostjami. Differencial’nye uravnenija. 1981. vol. 17. no. 2. 247–255 ].
  29. Иванов Л. А., “Задача Коши для некоторых операторов с особенностями”, Дифференциальные уравнения, 18:6 (1982), 1020–1028. [Ivanov L. A. Zadacha Koshi dlja nekotoryh operatorov s osobennostjami. Differencial’nye uravnenija. 1982. vol. 18. no 6. 1020–1028 ].
  30. Глушак А. В., “Итерированные задачи Коши и Дирихле с оператором Бесселя в банаховом пространстве”, Изв. вузов. Матем., 1999, №8, 3–10. [Glushak A.V. Iterirovannye zadachi Koshi i Dirihle s operatorom Besselja v banahovom prostranstve. Izv. vuzov. Matem. 1999. no 8. 3–10 ].
  31. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т., Общие принципы квантовой теории поля, Наука, М., 1987. [Bogoljubov N. N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. Obshhie principy kvantovoj teorii polja. M.: Nauka, 1987 ].
  32. Каримов Ш. Т., “Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя”, Изв. вузов. Матем., 2017, №8, 27–41. [Karimov Sh. T. Ob odnom metode reshenija zadachi Koshi dlja odnomernogo polivolnovogo uravnenija s singuljarnym operatorom Besselja. Izv. vuzov. Matem. 2017. no 8. 27–41. ].
  33. Капилевич М. Б., “Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа”, Математический сборник, 30(72):1 (1952), 11–38. [Kapilevich M. B. Ob odnom uravnenii smeshannogo jelliptiko-giperbolicheskogo tipa. Matematicheskij sbornik. 1952. vol. 30(72). no 1. 11–38 ].

 

 

Список литературы (ГОСТ)

  1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. Минск: Наука и техника,1987.
  2. Sneddon I. N. Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory. Amsterdam: North-Holland Publ., 1966
  3. Kiryakova V. Generalized Fractional Calculus and Applications. N. York: Long-man Sci. & Technical and J. Wiley & Sons, Harlow, 1994
  4. Erd´elyi A. On fractional integration and its application to the theory of Hankel transforms // Quart. J. Math. Oxford ser. 1940. vol. 11. no 44. pp. 293–303
  5. Erd´elyi A., Kober H. Some remarks on Hankel transforms // Quart. J. Math. Oxford ser.1940. vol. 11. no 43. pp. 212–221. 1940
  6. Erd´elyi A. An application of fractional integrals // J. Analyse Math. 1965. vol 14. no 44. pp. 113–126
  7. Erd´elyi A. Axially symmetric potentials and fractional integration // J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1965. vol 13. no 1. pp. 216–228
  8. Erd´elyi A. On the Euler-Poisson-Darboux equation // J. Analyse Math. 1970. vol. 23. pp. 89–102
  9. Sneddon I. N. The use in mathematical analysis of Erd´elyi-Kober’ operators and of some of their applications. In: Fractional Calculus and Its Applications, Proc., Publ. as: Lecture Notes in Mathematics. New York: Springer-Verlag. 1975. pp. 37–79
  10. Lowndes J. S. A generalization of the Erd´elyi-Kober operators // Proc. Edinb. Math. Soc. 1970. vol. 17. no 2. pp. 139–148
  11. Lowndes J. S. An application of some fractional integrals // Proc. Edinb. Math. Soc. 1979. vol. 20. no. 1. pp. 35–41
  12. Lowndes J. S. Cauchy problems for second order hyperbolic differential equations with constant coefficients // Proc. Edinb. Math. Soc. 1983. vol. 26. no. 3. pp. 307–311
  13. Heywood P. Improved boundedness conditions for Lowndes’ operators // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, A. 1975. vol. 73. no. 9. pp. 291–299
  14. Heywood P. , Rooney P. G. On the boundedness of Lowndes’ operators // J. London Math. Soc. 1975. vol. 10. no. 2. pp. 241–248
  15. Weinstein A. The generalized radiation problem and the Euler-Poisson-Darboux equation // Summa Brasil Math. 1955. vol. 3. pp. 125–147
  16. Weinstein A. On a singular differential operator // Ann. mat. pura ed appl. 1960. vol. 49. no 4. pp. 359–365
  17. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001
  18. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. Т. 1. 2-е изд., исправ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002
  19. Ильин В. А., Позняк Э. Г Основы математического анализа Ч.1. В 2-х ч.: Учеб.: Для вузов. — 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005
  20. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука. 1973
  21. Бицадзе А. В. Избранные труды. Нальчик: Издательство Учреждения РАН Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2012
  22. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа высшего порядка // ДАН СССР. 1962. vol. 136. no. 2. pp. 274–2761962.
  23. Смирнов М. М. Модельное уравнение смешанного типа четвертого порядка. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972
  24. Мередов М. М. О единственности решения краевых задач для уравнения смешанного тип четвертого порядка // Известия АН Туркм. ССР. Серия физ.-техн., хим. и геол. наук. 1967. №4. С. 11–16
  25. Жегалов В. И. Об одном направлении в теории уравнений с частными производными. Материалы Международн. научн. конф. «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций,»Казань, 29 сентября — 1 октября, 2014 (Изд-во Казанск. матем. о-ва). 2014. C.13–15
  26. Сабитов К. Б. О положительности решения неоднородного уравнения смешанного типа высшего порядка. Материалы Международн. научн. конф. Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций. Казань, 29 сентября — 1 октября, 2014. C. 64–67
  27. Гальперин С. А., Кондрашов В. Е. Задача Коши для дифференциальных операторов, распадающихся на волновые множители // Труды Московского мат. общества. 1967. №. 16. C. 109–136
  28. Алдашев С. А. О задаче Коши для операторов распадающихся на множители с особенностями // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. №. 2. C. 247–255
  29. Иванов Л. А. Задача Коши для некоторых операторов с особенностями // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. №6. С. 1020–1028
  30. Глушак А. В. Итерированные задачи Коши и Дирихле с оператором Бесселя в банаховом пространстве // Изв. вузов. Матем. 1999. № 8. С. 3–10
  31. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987
  32. Каримов Ш. Т. Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя // Изв. вузов. Матем. 2017. № 8. С. 27–41
  33. Капилевич М. Б. Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа // Математический сборник. 1952. Т. 30(72). №1. С. 11–38

Для цитирования: Каримов Ш.Т. О некоторых обобщениях свойств оператора Эрдейи-Кобера и их приложения // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 2(18). C. 20-40. DOI: 10.18454/2079-6641-2017-18-2-20-40

For citation: Karimov Sh. T. About some generalizations of the properties of the Erd´elyi-Kober operator and their application, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2017, 18: 2, 20-40. DOI: 10.18454/2079-6641-2017-18-2-20-40

Поступила в редакцию / Original article submitted: 10.02.2017

    КаримKarimovShов Шахобиддин Туйчибоевич – кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой математики, Ферганский государственный университет, г. Фергана, Республика Узбекистан.
     Karimov Shakhobiddin Tuychiboyevich – Ph.D. (Phys. & Math.), Chair of the Department of Mathematics, Ferghana State University, Fergana, Republic of Uzbekistan

Скачать статью Каримов Ш.Т