Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 52. №3. C. 24 — 43. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-24-43
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.58

Содержание выпуска

Read English Version

Новые расширенные функции типа Миттаг-Леффлера с тремя переменными

А. Хасанов, Х. А. Юлдашова^{\ast}

Институт математики имени В.И. Романовского УзАН, 100174, Уиверситетская., 9, г. Ташкент, Узбекистан

Аннотация. В данной статье представлено систематическое исследование нового класса функций типа Миттаг-Леффлера от трёх переменных. Эти функции являются естественным и существенным расширением классической функции Миттаг-Леффлера и построены аналогично известным гипергеометрическим функциям Лауричеллы от трёх переменных. В нашем исследовании всесторонне изучаются фундаментальные свойства и аналитические характеристики этих трёх переменных функций. Основное внимание уделяется установлению их точных взаимосвязей с другими существующими расширениями и обобщениями классической функции Миттаг-Леффлера, что позволяет поместить их в более широкий спектр специальных функций. Ключевые аналитические результаты, представленные в данной работе, включают: вывод точных трёхмерных областей сходимости для рядов, определяющих эти функции; формулировку элегантных интегральных представлений типа Эйлера, которые предоставляют мощный инструмент для дальнейшего анализа. Подробное исследование их интегральных преобразований, в частности, вывод как одномерных, так и трёхмерных преобразований Лапласа. Исследование их тесной связи с дробным исчислением, демонстрирующее их естественное возникновение в качестве ядер и решений в контексте дробных интегральных и дифференциальных операторов Римана-Лиувилля. Кроме того, мы углубляемся в связанные с ними дифференциальные уравнения, показывая, что эти функции типа Миттаг-Леффлера служат решениями конкретных систем уравнений в частных производных. Эта работа не только обогащает теорию специальных функций, но и предоставляет надёжную математическую основу для потенциальных приложений в дробных дифференциальных уравнениях, аномальной диффузии и других областях математической физики.

Ключевые слова: oбобщенная функция типа Миттаг-Леффлера; Гипергеометрическая функция;
специальная (или высшая трансцендентная) функция; функция Лауричеллы; интегральное
представление; система дифференциальных уравнений в частных производных; одномерное и
трехмерное преобразование Лапласа; дробный интеграл Римана-Лиувилля; дробная производная
Римана-Лиувилля; функции Аппеля и Кампе де Ферьет; гипергеометрическая функция Сриваставы-Даусту.

Получение: 16.10.2025; Исправление: 06.11.2025; Принятие: 08.11.2025; Публикация онлайн: 11.11.2025

Для цитирования. Hasanov A., Yuldashova H. A. New extended three-variable Mittag-Leffler type functions // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 52. № 3. C. 24-43. EDN: XQKWGW. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-24-43.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: hilolayuldashova77@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Hasanov A., Yuldashova H. A., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Mittag-Leffler G.M. Sur la nouvelle fonction Eα(x), C. R. Acad. Sci. Paris, 1903. vol. 137, pp. 554-558.
  2. Wiman A. Über die Nullstellen der Funktionen Eα (x), Acta Math., 1905. vol. 29, pp. 217-234.
  3. Mainardi F.Why the Mittag-Leffler function can be considered the queen function of the fractional calculus?, Article ID 1359, Entropy, 2020. vol. 22, pp. 1-29.
  4. Srivastava H.M.On an extension of the Mittag-Leffler function, Yokohama Math. J., 1968. vol. 16, pp. 77-88.
  5. Samko S. G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. Tokyo, Paris, Berlin and Langhorne (Pennsylvania): Gordon and Breach Science Publishers, Reading, 1993.
  6. Luchko Y. Initial-boundary-value problems for the generalized multi-term time-fractional diffusion equation, J. Math. Anal. Appl., 2011. vol. 374, pp. 538-548.
  7. Luchko Y., Gorenflo R. An operational method for solving fractional differential equations with the Caputo derivatives, Acta Math Vietnam, 1999. vol. 24, pp. 201-233.
  8. Li Z., Liu Y., Yamamoto M. Initial-boundary value problems for multi-term time-fractional diffusion equations with positive constant coefficients, Appl. Math. Comput., 2015. vol. 257, pp. 381-397.
  9. Prabhakar T.R.A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel, Yokohama Math J., 1971. vol. 19, pp. 7-15.
  10. Salim T.O. Some properties relating to the generalized Mittag-Leffler function, Adv. Appl. Math. Anal., 2009. vol. 4, pp. 21-30.
  11. Salim T.O., Faraj A.W.,A generalization of Mittag-Leffler function and integral operator associated with fractional calculus, J. Fract. Calc. Appl., 2012. vol. 5, pp. 1-13.
  12. Saxena R.K., Kalla S.L., Saxena R.On a multivariate analogue of generalized Mittag-Leffler function, Integral Transforms Spec. Funct., 2011. vol. 22, pp. 533-548.
  13. Saxena R.K., Nishimoto K. N-Fractional calculus of generalized Mittag-Leffler functions, J. Fract. Calc., 2010. vol. 37, pp. 43-52.
  14. Srivastava H.M., Bansal M. K., Harjule P.A class of fractional integral operators involving a certain general multi-index Mittag-Leffler function, Ukrainian Math. J., 2023. vol. 75, pp. 1096–1112.
  15. Srivastava H.M., Tomovski ˆZ. Fractional calculus with an integral operator containing a generalized Mittag-Leffler function in the kernel, Appl. Math. Comput., 2009. vol. 211, pp. 198-210.
  16. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher Transcendental Functions, vol. 1. New York, Toronto and London: McGraw-Hill Book Company, 1953.
  17. Kilbas A.A., Saigo M. Analytical Methods and Special Functions: An International Series of Monographs in Mathematics, vol. 9. New York: CRC Press (Taylor and Francis), 2004.
  18. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, vol. 204. Amsterdam, London and New York: NorthHolland Mathematical Studies Elsevier (North-Holland) Science Publishers, 2006.
  19. Barnes E. W. The asymptotic expansion of integral functions defined by Taylor’s series, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A Math. Phys. Sci., 1906. vol. 206, pp. 249-297.
  20. Wright E.M. The asymptotic expansion of integral functions defined by Taylor series, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A Math. Phys. Sci., 1940. vol. 238, no. 1, pp. 423-451.
  21. Wright E.M. The asymptotic expansion of integral functions defined by Taylor series, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A Math. Phys. Sci., 1941. vol. 239, no. 2, pp. 217-232.
  22. Wright E.M. The asymptotic expansion of integral functions and of the coefficients in their Taylor series, Trans. Amer. Math. Soc., 1948. vol. 64, pp. 409-438.
  23. Bin-Saad M. G., Hasanov A. Ruzhansky M., Some properties relating to the Mittag-Leffler function of two variables, 2022. vol. 33, pp. 400-418.
  24. Srivastava H.M., Daoust M. C.On Eulerian integrals associated with Kampé de Fériet’s function, Publ. Inst. Math. (Beograd)(Nouvelle Sér), 1969. vol. 9, no. 23, pp. 199-202.
  25. Srivastava H.M., Panda R. An integral representation for the product of two Jacobi polynomials, J. London Math. Soc., 1976. vol. 12, no. 2, pp. 419-425.
  26. Garg M., Manohar P., Kalla S.L.A Mittag-Leffler type function of two variables, Integral Transforms Spec. Funct., 2013. vol. 24, pp. 934-944.
  27. Karimov E.T., Al-Salti N., Kerbal S. An inverse source non-local problem for a mixed type equation with a Caputo fractional differential operator, East Asian J. Appl. Math., 2017, pp. 417-438.
  28. Karimov E.T., Hasanov A.,On a boundary-value problem in a bounded domain for a time-fractional diffusion equation with the Prabhakar fractional derivative, Bull. Karaganda Univ. Math., 2023. vol. 3, no. 111, pp. 39-46.
  29. Srivastava H.M. Generalized Neumann expansions involving hypergeometric functions, Proc. Cambridge Philos. Soc., 1967. vol. 63, pp. 425-429.
  30. Lauricella G. Sulle funzioni ipergeometriche a piú variabili, Rend. Circ. Mat. Palermo, 1893. vol. 7, pp. 111-158.
  31. Saran S. Hypergeometric functions of three variables, Ganita, 1954. vol. 5, pp. 77-91.
  32. Srivastava H.M. Hypergeometric functions of three variables, Ganita, 1964. vol. 15, pp. 97-108.
  33. Saigo M.On properties of hypergeometric functions of three variables, FM and FG, Rend. Circ. Mat. Palermo, 1988. vol. 37, no. 2, pp. 449-468.
  34. Appell P. Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur des équations différentiales linéaires aux dérivées partialles, C. R. Acad. Sci. Paris, 1880. vol. 90, pp. 298-496.
  35. Appell P., Kampé de Fériet. Fonctions Hypergéométriques et Hypersphériques: Polynômes d’Hermite. Gauthiers-Villars, Paris, 1925.
  36. Hái N.T, Marichev O.I., Srivastava H.M.A note on the convergence of certain families of multiple hypergeometric series, J. Math. Anal. Appl., 1992. vol. 164, pp. 104-115.
  37. Exton H. Multiple Hypergeometric Functions and Applications. New York, Chichester, Brisbane and Toronto: Halsted Press (Ellis Horwood Limited, Chichester) John Wiley and Sons, 1976.
  38. Hilfer R., Applications of Fractional Calculus in Physics. Singapore, New Jersey, London and Hong Kong: World Scientific Publishing Company, 2000.
  39. Kiryakova V. Generalized Fractional Calculus and Applications, vol. 301. Harlow (Essex): Longman Scientific and Technical, 1994.
  40. Podlubny I. Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications, vol. 198. New York, London, Sydney, Tokyo and Toronto: Academic Press, 1999.
  41. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S. Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications, vol. 2. Berlin, Heidelberg and New York: Springer-Verlag, 2020.
  42. Marichev O.I. Handbook of Integral Transforms of Higher Transcendental Functions: Theory and Algorithmic Tables. New York, Chichester, Brisbane and Toronto: Halsted Press (Ellis Horwood
    Limited, Chichester), John Wiley and Sons, 1983.
  43. Prudnikov A.P., Brychknov Yu.A., Marichev O.I. Integrals and Series, vol. 3 More Special Functions. Moscow: More Special Functions, 1986.
  44. Buschman R. G. Heat transfer between a fluid and a plate: Multidimensional Laplace transformation, Internat. J. Math. Math. Sci., 1983. vol. 6, pp. 589–596.
  45. Yang X.J. A new integral transform method for solving steady heat-transfer problem, Thermal Sci., 2016. vol. 20, no. 53, pp. 639-642.
  46. Yang X.JA new integral transform operator for solving the heat-diffusion problem, Appl. Math. Lett., 2017. vol. 64, pp. 193-197.

Информация об авторах

Хасанов Анвар – доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Института математики им. В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, Ташкент, Узбекистан, ORCID 0000-0002-9849-4103.

Юлдашова Хилола Атакхановна – аспирант Института математики им. В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, Ташкент, Узбекистан, ORCID 0009-0008-5623-0637.

Читать статьюСкачать статью