Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026.Т. 54. №2. C. 26 — 37. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-2-26-37
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.95

Содержание выпуска

Read English Version

Задача Дирихле для уравнения третьего порядка смешанного гиперболо-псевдопараболического типа в прямоугольной области

Ж.А. Балкизов^{\ast}

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Шортанова, д.89А, Нальчик, 360017, Россия

Аннотация. В данной работе формулируется и исследуется задача Дирихле для уравнения третьего порядка смешанного гиперболо-псевдопараболического типа в прямоугольной области D = \{(x, y) : 0 < x < r, −\alpha < y < \beta\}, в которой одно из условий сопряжения на линии смены типа y = 0 заменено условием Дирихле на одной из границ области. В верхней части смешанной области (относительно линии смены типа y = 0) определяющим уравнением является псевдопараболическое уравнение Аллера третьего порядка, тогда как в остальной части оно переходит в неоднородное волновое уравнение. С помощью метода спектрального анализа Сабитова доказывается корректность рассматриваемой задачи Дирихле. Устанавливаются достаточные условия на заданные функции, обеспечивающие корректность задачи и регулярность ее решения.

Ключевые слова: уравнение Аллера, неоднородное волновое уравнение, уравнения смешанного гиперболо-псевдопараболического типа, задача Дирихле, регулярное решение, класс регулярных функций, метод спектрального анализа, проблема малых знаменателей.

Получение: 08.07.2026; Исправление: 25.07.2026; Принятие: 09.09.2026; Публикация онлайн: 14.09.2026

Для цитирования. Balkizov Zh. A. Dirichlet problem for a third-order equation of mixed hyperbolic-pseudoparabolic type in a rectangular domain // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026. Т. 54. № 2. C. 26-37. EDN: ABWTOF. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-2-26-37.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: Giraslan@yandex.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Balkizov Zh. A., 2026

© ИКИР ДВО РАН, 2026 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Frankl F. I.On the Problems of Chaplygin for Mixed Sub- and Supersonic Flows, Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1945. vol. 9, no. 2, pp. 121–142 (In Russian).
  2. Frankl F. I. Osnovi Gazovoi Dinamiki [Selected Works on Gas Dynamics]. M: Nauka, 1973. 771 pp. (In Russian)
  3. Bourgin P. G., Duffin R. The Dirichlet problem the virbating string equation, Bulleten Amer. Math. Soc., 2016. vol. 45, no. 12, pp. 851–858.
  4. Bitsadze A. V.On the Ill-Posedness of the Dirichlet Problem for Mixed-Type Equations, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1953. vol. 122, no. 2, pp. 561–564 (In Russian).
  5. Cannon J. R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinuous coefficient, Ann. Math. pura ed Appl., 2016. vol. 62, no. 4, pp. 371–377.
  6. Nakhushev A. M.A Uniqueness Criterion for the Dirichlet Problem for a Mixed-Type Equation in a Cylindrical Domain, Differents. Uravneniia, 1970. vol. 6, no. 1, pp. 190–191 (In Russian).
  7. Khachev M. M. The Dirichlet problem for the Tricomi equation in a rectangle, Differents. Uravneniia, 1975. vol. 11, no. 1, pp. 151–160 (In Russian).
  8. Sokhadze P. S.On the first boundary value problem for a mixed-type equation in a rectangle, Differents. Uravneniia, 1983. vol. 19, no. 1, pp. 127–133 (In Russian).
  9. Zhegalov V. I. A nonlocal Dirichlet problem for a mixed-type equation / In Nonclassical Equations of Mathematical Physics, IM SO AN SSSR, 1985, pp. 168–172 (In Russian).
  10. Soldatov A.P.A Dirichlet-type problem for the Lavrent’ev–Bitsadze equation. II. Existence theorems., Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 1993. vol. 333, no. 1, pp. 16–18 (In Russian).
  11. Soldatov A.P.A Dirichlet-type problem for the Lavrent’ev–Bitsadze equation. I. Uniqueness theorems, Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 1993. vol. 332, no. 6, pp. 696–698 (In Russian).
  12. Soldatov A.P.A Dirichlet-type problem for the Lavrent’ev–Bitsadze equation, Differents. Uravneniia, 1994. vol. 30, no. 11, pp. 2001–2009 (In Russian).
  13. Khachev M. M. Boundary value problems for mixed-type equations in canonical domains / Proceedings of the All-Russian scientific and practical conference «Current problems and priority innovative technologies for the development of the regional agro-industrial complex», December 19-20, 2014.. Nalchik, KBSU named after V.M. Kokov, 2015, pp. 40–49 (In Russian).
  14. Sabitov K. B. The Dirichlet problem for mixed-type equations with the Lavrent’ev–Bitsadze operator, Vestnik Oshskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika, fizika, tekhnika, 2023. no. 1, pp. 194–196 (In Russian).
  15. Sabitov K. B. The Dirichlet problem for equations of mixed type in a rectangular domain, Doklady RAN, 2007. vol. 413, no. 1, pp. 23–26 (In Russian).
  16. Sabitov K. B., Melisheva, E.P. The Dirichlet problem for a loaded mixed-type equation in a rectangular domain, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Matematika, 2013. no. 7, pp. 62–76 (In Russian).
  17. Martem’anova N. V. The Dirichlet problem for an equation of mixed elliptic-hyperbolic type with variable potential, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Matematika, 2015. no. 11, pp. 44–53 (In Russian).
  18. Khachev M. M. Zadacha Dirikhle dlya odnogo klassa uravneniy smeshannogo tipa v pryamougol’noy i v tsilindricheskoy oblastyakh [The Dirichlet problem for a class of mixed-type equations in rectangular and cylindrical domains]. Nalchik, 1976. 75 pp. (In Russian)
  19. Melisheva E.P. Zadacha Dirikhle dlya nagruzhennykh uravneniy smeshannogo elliptikogiperbolicheskogo tipa v pryamougol’noy oblasti [The Dirichlet problem for loaded equations of mixed elliptic-hyperbolic type in a rectangular domain]. Kazan, 2013. 93 pp. (In Russian)
  20. Khachev M. M. Pervaya krayevaya zadacha dlya lineynykh uravneniy smeshannogo tipa v kanonicheskikh oblastyakh [The first boundary value problem for linear mixed-type equations in canonical domains]. Nalchik: Elbrus, 1998. 170 pp. (In Russian)
  21. Sabitov K. B. K teorii uravneniy smeshannogo tipa [On the theory of mixed-type equations]. M.: Fizmatlit, 2014. 304 pp. (In Russian)
  22. Sabitov K. B. Pryamyye i obratnyye zadachi dlya uravneniy smeshannogo parabologiperbolicheskogo tipa [Direct and inverse problems for mixed parabolic-hyperbolic equations]. M.: Nauka, 2016. 272 pp. (In Russian)
  23. Budak B. M., Fomin S. V. Kratnyye integraly i ryady [Multiple Integrals and Series]. M.: Nauka, 1967. 608 pp. (In Russian)

Информация об авторе

Балкизов Жираслан Анатольевич — кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела уравнений смешанного типа Института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН (Россия), ORCID 0000-0001-5329-7766.

Read articleСкачать