Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 148-157. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-148-157

УДК 512.24

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ С НЕПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И УЧЕТОМ ПЕРЕМЕННОЙ СТЕПЕННОЙ ПАМЯТИ 

Д. А. Твёрдый¹²

¹Институт прикладной математики и автоматизации — филиал федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр российской академии наук», 360000, г. Нальчик, Шортанова, 89а
²Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4

E-mail: dimsolid95@gmail.com

В работе предложена задача Коши для уравнения Риккати с непостоянными коэффициентами и с учетом переменной степенной памяти. Степенная память определяется оператором дробной производной переменного порядка обобщающим производную Герасимова-Капуто. В работе с помощью численных методов: метода Ньютона и явной конечно-разностной схемы находится решение предложенной задачи Коши, а также определяется с помощью правила Рунге их вычислительная точность. Показано, что оба метода можно использовать для решение предложенной задачи Коши, однако метод Ньютона быстрее сходится. Далее в работе были построены расчетные кривые и фазовые траектории при различном выборе функции дробного порядка оператора дифференцирования. Сделано предположение, что предложенную модель можно использовать при описании экономических циклических процессов.

Ключевые слова: уравнение Риккати, дробная производная, наследственность, численные методы, дифференциальное уравнение.

© Твёрдый Д. А., 2018

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта президента РФ № МК-1152.2018.1 и по теме НИР КамГУ имени Витуса Беринга «Применение дробного исчисления в теории колебательных процессов» №АААА-А17-117031050058-9.

MSC 34A08

THE CAUCHY PROBLEM FOR THE RICCATI EQUATION WITH VARIABLE POWER MEMORY AND NON-CONSTANT COEFFCIENTS 

D. A. Tvoyrdyj¹²

¹Institute of Applied Mathematics and Automation — a branch of the federal state budget scientific institution «Federal Scientific Center»KBS CRAS 360000, Nalchik, Shortanova, 89а
²Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia

E-mail: dimsolid95@gmail.com

The Cauchy problem for the Riccati equation with non-constant coefficients and taking into account variable power memory is proposed. Power memory is defined by the operator of a fractional derivative of a variable order generalizing the Gerasimov-Caputo derivative. In work with the help of numerical methods: the Newton method and the explicit finitedifference scheme, the solution of the proposed Cauchy problem is found, and also their calculation accuracy is determined using the Runge rule. It is shown that both methods can be used to solve the proposed Cauchy problem, but Newton’s method converges faster. Further in this work, the calculated curves and phase trajectories were constructed for a different choice of the fractional order function of the differentiation operator. It is assumed that the proposed model can be used in describing economic cyclical processes.

Key words: Riccati equation, fractional derivative, hereditarity, numerical methods, differential equation.

© Tvoyrdyy D. A., 2018

This work was supported by the grant of the President of the Russian Federation No. MK-1152.2018.1 and on the topic of the research of Vitus Bering Kamchatka State University «Application of fractional calculus in the theory of oscillatory processes»No.АААА-А17-117031050058-9.

Список литературы

  1. Учайкин В. В., Метод дробных производных, Артишок, Ульяновск, 2008, 512 с. [Uchajkin V. V., Metod drobnyh proizvodnyh, Artishok, Ul’yanovsk, 2008, 512 pp.]
  2. Petras I., Fractional-order nonlinear systems: modeling, analysis and simulation, Springer Science and Business Media, 2011, 218 pp.
  3. Volterra V., “Sur lesequations integro-differentielles et leurs applications”, Acta Mathematica, 35:1 (1912), 295–356.
  4. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nahushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]
  5. Паровик Р. И, “Дробное исчисление в теории колебательных систем”, Современные наукоемкие технологии, 2017, №1, 61–68. [Parovik R. I, “Drobnoe ischislenie v teorii kolebatel’nyh sistem”, Sovremennye naukoemkie tekhnologii, 2017, №1, 61–68].
  6. Твёрдый Д. А, “Уравнение Риккати с производной дробного переменного порядка”, Международный студенческий научный вестник, 2017, №2, 42–42. [Tvyordyj D. A, “Uravnenie Rikkati s proizvodnoj drobnogo peremennogo poryadka”, Mezhdunarodnyj studencheskij nauchnyj vestnik, 2017, №2, 42–42].
  7. Tvyordyj D.A., “Riccati equation with variable heredity”, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 16:1 (2017), 61–68.
  8. Твёрдый Д. А., “Эредитарное уравнение Риккати с дробной производной переменного порядка”, Актуальные проблемы прикладной математики и физики, Материалы международной научной конференции, 2017, 200. [Tvyordyj D. A., “EHreditarnoe uravnenie Rikkati s drobnoj proizvodnoj peremennogo poryadka”, Aktual’nye problemy prikladnoj matematiki i fiziki, Materialy mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii, 2017, 200].
  9. Паровик Р. И., “Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов”, 2017, 135. [Parovik R. I., “Matematicheskoe modelirovanie nelinejnyh ehreditarnyh oscillyatorov”, 2017, 135].
  10. Riccati J., “Animadversiones in aequationes differentiales secundi gradus”, Actorum Eruditorum Supplementa, 1724, №8, 66–73.
  11. Sweilam N. H., Khader M. M., Mahdy A. M. S., “Numerical studies for solving fractional Riccati differential equation”, Applications and Applied Mathematics, 7:2 (2012), 595–608.
  12. Parovik R. I., “Mathematical model of a wide class memory oscillators”, Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 11:2 (2018), 108–122.
  13. Parovik R. I., “Explicit finite-difference scheme for the numerical solution of the model equation of nonlinear hereditary oscillator with variable-order fractional derivatives”, Archives of Control Sciences, 26:3 (2016), 429–435.
  14. Новикова Е. Р., “Осциллятор Ван дер Поля-Дуффинга с эффектом эредитарности”, Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2:18 (2017), 65–75. [Novikova E. R., “Oscillyator Van der Polya-Duffinga s ehffektom ehreditarnosti”, Vestnik KRAUNC. Fiziko-matematicheskie nauki, 2:18 (2017), 65–75].
  15. Кумакшев С. А., “Исследование регулярных и релаксационных колебаний осцилляторов Рэлея и Ван-дер-Поля”, Вестник Нижегородского университета им. НИ Лобачевского, 2011, №4–2, 203–205. [Kumakshev S. A., “Issledovanie regulyarnyh i relaksacionnyh kolebanij oscillyatorov Rehleya i Van-der-Polya”, Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. NI Lobachevskogo, 2011, №4–2, 203–205].
  16. Баранов С. В., Кузнецов С. П., Пономаренко В. И., “Хаос в фазовой динамике осциллятора Ван дер Поля с модулированной добротностью и дополнительной запаздывающей обратной связью”, Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 18:1 (2010), 11–23. [Baranov S. V., Kuznecov S. P., Ponomarenko V. I., “Haos v fazovoj dinamike oscillyatora Van der Polya s modulirovannoj dobrotnost’yu i dopolnitel’noj zapazdyvayushchej obratnoj svyaz’yu”, Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Prikladnaya nelinejnaya dinamika, 18:1 (2010), 11–23].
  17. Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений. Т. 2, М.-Л., 1967, 464 с. [Berezin I. S., ZHidkov N. P., Metody vychislenij. V. 2, M.-L., 1967, 464 pp.]
  18. Твердый Д. А., Паровик Р. И., “Программа численного расчета задачи Коши для уравнения Риккати с производной дробного переменного порядка”, Фундаментальные исследования, 8-1 (2017), 98–103. [Tverdyj D. A., Parovik R. I., “Programma chislennogo rascheta zadachi Koshi dlya uravneniya Rikkati s proizvodnoj drobnogo peremennogo poryadka”, Fundamental’nye issledovaniya, 8-1 (2017), 98–103].
  19. Федер Е., Фракталы, Мир, М., 1991. [Feder E., Fraktaly, Mir, M., 1991].

Список литературы (ГОСТ)

  1. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
  2. Petras I. Fractional-order nonlinear systems: modeling, analysis and simulation: Springer Science and Business Media, 2011. 218 p.
  3. Volterra V. Sur lesequations integro-differentielles et leurs applications // Acta Mathematica. 1912. vol 35. no. 1. pp. 295–356.
  4. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  5. Паровик Р. И. Дробное исчисление в теории колебательных систем // Современные наукоемкие технологии. 2017. №1. С. 61–68.
  6. Твёрдый Д. А. Уравнение Риккати с производной дробного переменного порядка // Международный студенческий научный вестник. 2017. №2. С. 42–42.
  7. Tvyordyj D.A. Riccati equation with variable heredity // Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. 2017. vol. 16. no. 1. pp. 61–68.
  8. Твёрдый Д. А. Эредитарное уравнение Риккати с дробной производной переменного порядка // Актуальные проблемы прикладной математики и физики: Материалы международной научной конференции, 2017. С. 200.
  9. Паровик Р. И. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2017. 135 c.
  10.  Riccati J. Animadversiones in aequationes differentiales secundi gradus // Actorum Eruditorum Supplementa. 1724. no. 8. pp. 66–73.
  11. Sweilam N. H., Khader M. M., Mahdy A. M. S. Numerical studies for solving fractional Riccati differential equation // Applications and Applied Mathematics. 2012. vol. 7. no. 2. pp. 595–608.
  12. Parovik R. I. Mathematical model of a wide class memory oscillators // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software (Bulletin SUSU MMCS). 2018. vol. 11. no. 2. pp. 108–122.
  13. Parovik R. I. Explicit finite-difference scheme for the numerical solution of the model equation of nonlinear hereditary oscillator with variable-order fractional derivatives // Archives of Control Sciences. 2016. vol. 26. no. 3. pp. 429–435.
  14. Новикова Е. Р. Осциллятор Ван дер Поля-Дуффинга с эффектом эредитарности // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2017. Т. 2. № 18. С. 65–75.
  15. Кумакшев С. А. Исследование регулярных и релаксационных колебаний осцилляторов Рэлея и Ван-дер-Поля // Вестник Нижегородского университета им. НИ Лобачевского. 2011. №. 4–2. С. 203–205.
  16. Баранов С. В., Кузнецов С. П., Пономаренко В. И. Хаос в фазовой динамике осциллятора Ван дер Поля с модулированной добротностью и дополнительной запаздывающей обратной связью // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. №1. С. 11–23.
  17. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. М.-Л.: 1967. 464 с.
  18. Твердый Д. А., Паровик Р. И. Программа численного расчета задачи Коши для уравнения Риккати с производной дробного переменного порядка // Фундаментальные исследования. 2017. № 8-1. С. 98–103.
  19. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

Для цитирования: Твёрдый Д. А. Задача Коши для уравнения Риккати с непостоянными коэффициентами и учетом переменной степенной памяти // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 148-157. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-148-157.
For citation: Tvoyrdyj D. A. The Cauchy problem for the Riccati equation with variable power memory and non-constant coeffcients, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 23: 3, 148-157. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-148-157.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 16.06.2018

tverd  Твердый Дмитрий Алксандрович – аспирант Кабардино-Балкарского научного центра РАН, научный сотрудник лаборатории дробного исчисления и его приложений Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, Россия.
    Tverdyj Dmitrij Alksandrovich – graduate student of the Kabardino-Balkar Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, researcher of the Fractional Calculus Laboratory and its applications at Kamchatka State University named after Vitus Bering, Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia.

Скачать статью Твердого Д.А.