Вестник КРАУНЦ.Физ.-мат. науки. 2021. Т. 34. №1. C. 88-104. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска/Contents of this issue

УДК 519.644

Научная статья

О приближении определенных интегралов составными квадратурными формулами с использованием производных

В. В. Шустов

Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем, 125319, г. Москва, ул. Викторенко, дом  7

E-mail: vshustov@gosniias.ru

Рассмотрена задача вычисления определенного интеграла функции, для которой известны значения ее самой и набора производных до заданного порядка в точках отрезка интегрирования. Построены составные квадратурные формулы, которые используют значения функции и ее производных до m-го порядка включительно. Получено представление остаточного члена, выраженное через производную соответствующего порядка и число узловых точек. Приведены примеры интегрирования заданных функций с исследованием погрешности и ее оценки. Дано сравнение с известными численными методами и формулой Эйлера-Маклорена, которое показало повышенную точность и лучшую сходимость метода двухточечного интегрирования.

Ключевые слова: квадратурные формулы с использованием производных, составная квадратурная формула, остаточный член интегрирования, оценка погрешности приближения, формула Эйлера-Маклорена

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-88-104

Поступила в редакцию: 29.12.2020

В окончательном варианте: 21.03.2021

Для цитирования. Шустов В. В. О приближении определенных интегралов составными квадратурными формулами с использованием производных // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 34. № 1. C. 88-104. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-88-104

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International
(https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Шустов В. В., 2021

MSC 41A55

Research Article

On approximation of definite integrals by compound quadrature formulas using derivatives

V. V. Shustov

State Research Institute of Aviation Systems, 125319, Moscow, Viktorenko st., 7, Russia

E-mail: vshustov@gosniias.ru

The problem of computing a definite integral of a function for which the values of itself and the set of derivatives up to a given order at the points of the interval of integration are known is considered. Composite quadrature formulas are constructed that use the values of the function and its derivatives up to the m-th order inclusive. A representation of the remainder is obtained, expressed in terms of the derivative of the corresponding order and the number of nodal points. Examples of integration of the given functions with the study of the error and its estimation are given. A comparison is made with the known numerical methods and the Euler-Maclaurin formula, which showed increased accuracy and better convergence of the two-point integration method.

Key words: quadrature formulas using derivatives, compound quadrature formula, remainder of integration, approximation error estimate, Euler-Maclaurin formula

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-88-104

Original article submitted: 20.10.2020

Revision submitted: 03.02.2021

For citation. Shustov V.V. Analysis of the possibility of using Russian geomagnetic stations to calculate the analogue of the Dst-index. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021, 34: 1, 88-104.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-88-104

Competing interests. The author declares that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. The author contributed to this article. The author is solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by the author.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International
License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Shustov V.V., 2021

Список литература/References

1. Березин И. С., Методы вычислений, Физматлит, М., 1962, 464 с. [Berezin I. S., Metody vychisleniy, Fizmatlit, M., 1962 (in Russian), 464 pp.]
2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., Численные методы, Учеб. пособие, Наука, М., 1987, 600 с. [Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobel’kov G. M., Chislennyye metody, Ucheb. posobiye, Nauka, M., 1987 (in Russian), 600 pp.]
3. Вержбицкий В. М., Численные методы, ООО Издательский дом Оникс 21 век, М., 2005, 400 с. [Verzhbitskiy V. M., Chislennyye metody, OOO Izdatel’skiy dom Oniks 21 vek, M., 2005 (in Russian), 400 pp.]
4. Волков Е. А., Численные методы, Учеб. пособие для вузов, Наука, М., 1987, 248 с. [Volkov Ye. A., Chislennyye metody, Ucheb. posobiye dlya vuzov, Nauka, M., 1987 (in Russian), 248 pp.]
5. Хемминг Р. В., Численные методы для научных работников и инженеров, Наука, М., 1972, 400 с. [Khemming R.V., Chislennyye metody dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov, Nauka, M., 1972 (in Russian), 400 pp.]
6. Шахов Ю. Н., Деза Е. И., Численные методы, Учебное пособие, Книжный дом Либроком, М., 2010, 248 с. [Shakhov Yu. N., Deza Ye. I., Chislennyye metody, Uchebnoye posobiye, Knizhnyy dom Librokom, M., 2010 (in Russian), 248 pp.]
7. Калиткин Н. Н., Численные методы, Учебное пособие, БХВ-Петербург, СПб., 2011, 592 с. [Kalitkin N. N., Chislennyye metody, Uchebnoye posobiye, BKHV-Peterburg, SPb., 2011 (in Russian), 592 pp.]
8. Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, Наука, М., 1967, 500 с. [Krylov V. I., Priblizhennoye vychisleniye integralov, Nauka, M., 1967 (in Russian), 500 pp.]
9. Крылов В. И., Квадратурные формулы, Наука, М., 1988, 256 с. [Krylov V. I., Kvadraturnyye formuly, Nauka, M., 1988 (in Russian), 256 pp.]
10. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, Наука, М., 1970, 800 с. [Fikhtengol’ts G. M., Kurs differentsial’nogo i integral’nogo ischisleniya. V. 2, Nauka, M., 1970 (in Russian), 800 pp.]
11. Шустов В. В., “О представлении интегралов значениями функции и ее производных на основе использования двухточечных многочленов Эрмита”, Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование, тезисы докладов XIII Межд. научн. конф., Владикавказ, ЮМИ ВНЦ РАН, 2016, 85-87. [Shustov V.V., “O predstavlenii integralov znacheniyami funktsii i yeye proizvodnykh na osnove ispol’zovaniya dvukhtochechnykh mnogochlenov Ermita”, Teoriya operatorov, kompleksnyy analiz i matematicheskoye modelirovaniye, tezisy dokladov XIII Mezhd. nauchn. konf., Vladikavkaz, YUMI VNTS RAN, 2016, 85-87 (in Russian)].
12. Шустов В. В., “О приближении функций двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 55:7 (2015), 1091-1108. [Shustov V.V., “O priblizhenii funktsiy dvukhtochechnymi interpolyatsionnymi mnogochlenami Ermita”, Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki, 55:7 (2015), 1091-1108 (in Russian)].
13. Кудрявцев Л. Д., Математический анализ. Т. 1, Высшая школа, М., 1970 (in Russian), 592 с.
14. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров, Наука, М., 1984, 832 с. [Korn G., Korn T., Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov, Nauka, M., 1984 (in Russian), 832 pp.]
15. Грехем Р., Кнут Д., Паташник О., Конкретная математика. Основание информатики, Мир, М., 1998, 703 с. [Grekhem R., Knut D., Patashnik O., Konkretnaya matematika. Osnovaniye informatiki, Mir, M., 1998 (in Russian), 703 pp.]
16. Шустов В. В., “О представлении интегралов значениями функции и ее производных на основе использования двухточечных многочленов Эрмита”, Математический форум. (Итоги науки. Юг России). ЮМИ РАН, 11 (2017), 113-122. [Shustov V.V., “O predstavlenii integralov znacheniyami funktsii i yeye proizvodnykh na osnove ispol’zovaniya dvukhtochechnykh mnogochlenov Ermita”, Matematicheskiy forum. (Itogi nauki. Yug Rossii). YUMI RAN, 11 (2017), 113-122 (in Russian)].
17. Шустов В. В., “О представлении определенных интегралов значениями функции и ее производных”, Владикавказский математический журнал, 22:2 (2020), 83-97. [Shustov V.V., “O predstavlenii opredelennykh integralov znacheniyami funktsii i yeye
    proizvodnykh”, Vladikavkazskiy matematicheskiy zhurnal, 22:2 (2020), 83-97 (in Russian)].