Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 67-75. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-67-75

УДК 517.95

ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Р. Х. Макаова

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А

E-mail: makaova.ruzanna@mail.ru

В работе исследуется задача Трикоми для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри смешанной области. Доказана теорема существования и единственности регулярного решения.

Ключевые слова: вырождающееся гиперболическое уравнение, уравнение Аллера, задача Трикоми, оператор дробного интегро-дифференцирования.

© Макаова Р. Х., 2018

MSC 35L25, 35L80

THE TRICOMI PROBLEM FOR A THIRD ORDER HYPERBOLIC EQUATION DEGENERATING INSIDE THE DOMAIN

R. Kh. Makaova

Institute of Applied Mathematics and Automation, 89А Shortanova St., Nalchik, 360000, Russia

E-mail: makaova.ruzanna@mail.ru

In this paper, we study the Tricomi problem for a third-order hyperbolic equation with degeneracy of order inside a mixed domain. The existence and uniqueness theorem for a regular solution is proved.

Key words: degenerate hyperbolic equation, Hallaire equation, Tricomi problem, fractional integro-differentiation operator.

© Makaova R. Kh., 2018

Список литературы

  1. Hallaire M., “L’eau et la productions vegetable”, Institut National de la Recherche Agronomique, 9 (1964).
  2. Смирнов М. М., Вырождающиеся гиперболические уравнения, Вышэйшая школа, Минск, 1977, 150 с. [Smirnov M. M., Vyrozhdayushchiesya giperbolicheskie uravneniya, Vyshehjshaya shkola, Minsk, 1977, 150 pp.]
  3. Showalter R.E., Ting T.W., “Pseudoparabolic partial differential equations”, SIAM J. Math. Anal., 1:1 (1970), 1-26.
  4. Чудновский А.Ф., Теплофизика почв, Наука, М., 1976, 352 с. [CHudnovskij A.F., Teplofizika pochv, Nauka, M., 1976, 352 pp.]
  5. Нахушев А.М., “Об одном классе нагруженных уравнений в частных производных дробного порядка”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 14:1 (2012), 51–57. [Nahushev A.M., “Ob odnom klasse nagruzhennyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh drobnogo poryadka”, Doklady Adygskoj (CHerkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 14:1 (2012), 51–57].
  6. Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J., “Instability, Uniqueness, and Nonexistence Theorems for the Equation on a Strip”, Arch. Rat. Mech. Anal., 19 (1965), 100–116.
  7. Colton D., “Pseudoparabolic Equations in One Space Variable”, Journal of Differ. Equations, 12:3 (1972), 559–565.
  8. Шхануков М. Х., “О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах”, Дифференциальные уравнения, 18:4 (1982), 689–699. [Shkhanukov M. Kh., “Some boundary value problems for a third-order equation that arise in the modeling of the filtration of a fluid in porous media”, Differential Equations, 18:4 (1982), 689–699].
  9. Yangarber V.A., “The mixed problem for a modified moisture-transfer equation”, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics., 8:1 (1967), 62–64.
  10. Kozhanov A. I., “On a Nonlocal Boundary Value Problem with Variable Coefficients for the Heat Equation and the Aller Equation”, Differential Equations, 40:6 (2004), 815–826.
  11. Макаова Р.Х., “Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана–Лиувилля”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:3 (2015), 35–38. [Makaova R.H., “Vtoraya kraevaya zadacha dlya obobshchennogo uravneniya Allera s drobnoj proizvodnoj Rimana–Liuvillya”, Doklady Adygskoj (CHerkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 17:3 (2015), 35–38].
  12. Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высшая школа, М., 1995, 301 с. [Nahushev A. M., Uravneniya matematicheskoj biologii, Vysshaya shkola, M., 1995, 301 pp.]
  13. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nahushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]
  14. Kal’menov T. Sh., “A criterion for the uniqueness of the solution of the Darboux problem for a certain degenerate hyperbolic equation”, Differential Equations, 7:1 (1971), 178–181.
  15. Kal’menov T. Sh., “The Darboux problem for a certain degenerate equation”, Differential Equations, 10:1 (1974), 59–68.
  16. Балкизов Ж.А., “Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения”, Владикавказский математический журнал, 18:2 (2016), 19–30. [Balkizov Zh. A., “The first boundary value problem for a degenerate hyperbolic equation”, Vladikavkaz. Mat. Zh., 18:2 (2016), 19–30].
  17. Балкизов Ж.А., “Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения”, Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки., 1:189 (2016), 5–10. [Balkizov ZH.A., “Kraevaya zadacha dlya vyrozhdayushchegosya vnutri oblasti giperbolicheskogo uravneniya”, Izvestiya VUZov. Severo-Kavkazskij region. Seriya: Estestvennye nauki., 1:189 (2016), 5–10].
  18. Репин О. А., Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов., издательство Саратовского университета, Саратов, 1992, 161 с. [Repin O. A., Kraevye zadachi so smeshcheniem dlya uravnenij giperbolicheskogo i smeshannogo tipov., izdatel’stvo Saratovskogo universiteta, Saratov, 1992, 161 pp.]
  19. Нахушев А. М., Задачи со смещением для уравнений в частных производных, Наука, М., 2006, 287 с. [Nahushev A. M., Zadachi so smeshcheniem dlya uravnenij v chastnyh proizvodnyh, Nauka, M., 2006, 287 pp.]
  20. Макаова Р.Х., “Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:4 (2017), 651–664. [Makaova R. Kh., “A boundary value problem for a third order hyperbolic equation with degeneration of order inside the domain”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 21:4 (2017), 651–664].
  21. Макаова Р.Х., “Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения третьего порядка с оператором Аллера в главной части”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 149:211 (2018), 64–71. [Makaova R.H., “Kraevaya zadacha dlya vyrozhdayushchegosya vnutri oblasti giperbolicheskogo uravneniya tret’ego poryadka s operatorom Allera v glavnoj chasti”, Itogi nauki i tekhn. Ser. Sovrem. mat. i ee pril. Temat. obz., 149:211 (2018), 64–71].
  22. Псху А.В., “Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка”, Математический сборник, 202:4 (2011), 111–122. [Pskhu A. V., “Initial-value problem for a linear ordinary differential equation of noninteger order”, Mat. Sb., 202:4 (2011), 111–122].
  23. Макаова Р.Х., “Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана — Лиувилля”, Вестник АГУ. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, 4:211 (2017), 36–41. [Makaova R.H., “Pervaya kraevaya zadacha v nelokal’noj postanovke dlya obobshchennogo uravneniya Allera s drobnoj proizvodnoj Rimana — Liuvillya”, Vestnik AGU. Seriya 4: Estestvennomatematicheskie i tekhnicheskie nauki, 4:211 (2017), 36–41].

Список литературы (ГОСТ)

  1. Hallaire M. L’eau et la productions vegetable // Institut National de la Recherche
    Agronomique. 1964. vol. 9.
  2. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа. 1977. 150 c.
  3. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. vol. 1. №. 1. pp. 1-26.
  4. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 c.
  5. Нахушев А.М. Об одном классе нагруженных уравнений в частных производных дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т. 14. №1. С. 51–57.
  6. Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J. Instability, Uniqueness, and Nonexistence Theorems for the Equation on a Strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. vol. 19. pp. 100–116.
  7. Colton D. Pseudoparabolic Equations in One Space Variable // Journal of Differ. Equations. 1972. vol. 12. №3. pp. 559–565.
  8. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференциальные уравнения. 1982. vol. 18. № 4. С. 689–699.
  9. Yangarber V.A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1967. vol. 8. №1. pp. 62–64.
  10. Kozhanov A. I. On a Nonlocal Boundary Value Problem with Variable Coefficients for the Heat Equation and the Aller Equation // Differential Equations. 2004. vol. 40. no. 6. pp. 815–826.
  11. Макаова Р.Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана–Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17. №3. С. 35–38.
  12. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995. 301 с.
  13. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 c.
  14. Kal’menov T. Sh. A criterion for the uniqueness of the solution of the Darboux problem for a certain degenerate hyperbolic equation // Differential Equations. 1971. vol. 7. no. 1. pp. 178–181.
  15. Kal’menov T. Sh. The Darboux problem for a certain degenerate equation // Differential Equations. 1974 vol. 10. no 1. pp. 59–68.
  16. Балкизов Ж.А. Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Владикавказский математический журнал. 2016. Т. 18. №2. С. 19–30.
  17. Балкизов Ж.А. Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2016. Т. 189. №1. С. 5–10.
  18. Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1992. 161 с.
  19. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 c.
  20. Макаова Р.Х. Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21. №4. C. 651–664.
  21. Макаова Р.Х. Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения третьего порядка с оператором Аллера в главной части // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2018. Т. 149. № 211. С. 64–71.
  22. Псху А.В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Математический сборник. 2011. Т. 202. №4. С. 111–122.
  23. Макаова Р.Х. Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана — Лиувилля // Вестник АГУ. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. 2017. Т. 4. №211. С. 36–41.

Для цитирования: Макаова Р. Х. Задача Трикоми для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения третьего порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 67-75. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-67-75
For citation: Makaova R. Kh. The Tricomi problem for a third order hyperbolic equation degenerating inside the domain, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 23: 3, 67-75. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-67-75

Поступила в редакцию / Original article submitted: 08.06.2018

mak  Макаова Рузанна Хасанбиевна – младший научный сотрудник отдела Вычислительные методы, Институт прикладной математики и автоматизации, Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, Россия.
  Makaova Ruzanna Khasanbievna – Junior Researcher of department Computational methods, Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkar Republic, Nalchik, Russia.

Скачать статью  Макаовой Р.Х.