Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 21-31. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-21-31

УДК 517.95

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА

С. Х. Геккиева¹, М. А. Керефов²

¹Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А
²Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173

E-mail: gekkieva_s@mail.ru, kerefov@mail.ru

При математическом моделировании сплошных сред с памятью возникают уравнения, описывающие новый тип волнового движения, занимающего промежуточное положение между обычной диффузией и классическими волнами. Имеются в виду дифференциальные уравнения дробного порядка, которые являются основой большинства математических моделей, описывающих широкий класс физических и химических процессов в средах с фрактальной геометрией. В работе представлено качественно новое уравнение влагопереноса, которое является обобщением уравнения Аллера – Лыкова. Рассмотрена первая краевая задача для уравнения Аллера – Лыкова с дробной производной Римана-Лиувилля. Для доказательства единственности решения методом энергетических неравенств получена априорная оценка в терминах дробной производной Римана – Лиувилля. Существование решения задачи доказано методом Фурье.

Ключевые слова: уравнение влагопереноса Аллера – Лыкова, дробная производная Римана – Лиувилля, метод Фурье, априорная оценка.

MSC 35E99

THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE GENERALIZED MOISTURE TRANSFER EQUATION

S. Kh. Gekkieva¹, M. A. Kerefov²

¹Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Center of RAS, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89 A, Russia
²Kabardino-Balkarian State University named after H. M. Berbekov, 360004, Nalchik, Chernyshevsky st., 173, Russia

E-mail: gekkieva_s@mail.ru, kerefov@mail.ru

In mathematical modeling of continuous media with memory, we deal with equations that describe a new type of wave motion, something between ordinary wave diffusion and classical wave propagation. There are fractional differential equations, which are the basis for the most mathematical models describing a wide class of physical and chemical processes in the fractal geometry of the Nature. The paper presents a new moisture transfer equation with a fractional Riemann – Liouville derivative that generalize the Aller – Lykov equation. The first boundary value problem for the generalized moisture transfer equation is considered. To prove the uniqueness of a solution we employ the energy inequalities method; an a priori estimate is obtained in terms of the fractional Riemann – Liouville derivative. The existence of the solution for the problem is proved by the Fourier method.

Key words: Tricomi problem, parabolic-hyperbolic equation, non-characteristic plane, Fourier transform, maximum principle, apriori estimate, uniqueness, existence, system of integral equations.

Список литературы

  1. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nahushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]
  2. Архестова С. М., Шхануков-Лафишев М. Х., “Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера – Лыкова с нелокальным условием”, Известия КБНЦ РАН, 2012, №3, 7–16. [Arhestova S. M., Shhanukov-Lafishev M. H., “Raznostnye shemy dlja uravnenija vlagoperenosa Allera – Lykova s nelokal’nym usloviem”, Izvestija KBNC RAN, 2012, №3, 7–16].
  3. Лафишева М. М., Керефов М. А., Дышекова Р. В., “Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера – Лыкова с нелокальным условием”, Владикавказский математический журнал, 19:1 (2017), 50–58. [Lafisheva M. M., Kerefov M. A., Dyshekova R. V., “Raznostnye shemy dlja uravnenija vlagoperenosa Allera – Lykova s nelokal’nym usloviem”, Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal, 19:1 (2017), 50–58].
  4. Геккиева С. Х., “Первая краевая задач для уравнения влагопереноса Аллера – Лыкова с дробной по времени производной”, Устойчивое развитие: проблемы, концепции, модели, Материалы Всероссийской конференции с международным участием, 2017, 99–102. [Gekkieva S. H., “Pervaja kraevaja zadach dlja uravnenija vlagoperenosa Allera – Lykova s drobnoj po vremeni proizvodnoj”, Ustojchivoe razvitie: problemy, koncepcii, modeli, Materialy Vserossijskoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem, 2017, 99–102].
  5. Керефов М. А., Геккиева С. Х., “Первая краевая задача для неоднородного нелокального волнового уравнения”, Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика, 2016, №4, 76–86. [Kerefov M. A., Gekkieva S. H., “Pervaja kraevaja zadacha dlja neodnorodnogo nelokal’nogo volnovogo uravnenija”, Vestnik Burjatskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika, informatika, 2016, №4, 76–86].
  6. Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pshu A. V., Uravnenija v chastnyh proizvodnyh drobnogo porjadka, Nauka, M., 2005, 199 pp.]
  7. Смирнов В. И., Курс высшей математики. Т. 2, БХВ-Петербург, СПб., 2008, 848 с. [Smirnov V. I., Kurs vysshej matematiki. V. 2, BHV-Peterburg, SPb., 2008, 848 pp.]
  8. Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, Наука, М., 1966, 672 с. [Dzhrbashjan M. M., Integral’nye preobrazovanija i predstavlenija funkcij v kompleksnoj oblasti, Nauka, M., 1966, 672 pp.]

Список литературы (ГОСТ)

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М. Физматлит. 2003. 272 c.
  2. Архестова С. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера – Лыкова с нелокальным условием // Известия КБНЦ РАН. 2012. №3. С. 7–16.
  3. Лафишева М. М., Керефов М. А., Дышекова Р. В. Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера – Лыкова с нелокальным условием // Владикавказский математический журнал. 2017. Т. 19. №1. С. 50–58.
  4. Геккиева С. Х. Первая краевая задач для уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова с дробной по времени производной // Материалы Всероссийской конференции с международным участием. Устойчивое развитие: проблемы, концепции, модели. 2017. С. 99–102.
  5. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 c.
  6. Керефов М. А., Геккиева С. Х. Первая краевая задача для неоднородного нелокального волнового уравнения // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2016. №4. С. 76–86
  7. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. СПб.: БХВ-Петербург, 2008. 848 c.
  8. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

Для цитирования: Геккиева С. Х., Керефов М. А. Краевые задачи для обобщенного уравнения влагопереноса // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 21-31. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-21-31
For citation: Gekkieva S. Kh., Kerefov M. A. The boundary value problem for the generalized moisture transfer equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 21: 1, 21-31. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-21-31

Поступила в редакцию / Original article submitted: 28.12.2017

В окончательном варианте / Revision submitted: 16.03.2018

  ГеккиеваGek Сакинат Хасановна – кандидат физико-математических наук, заведующий отделом математического моделирования геофизических процессов, Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, г. Нальчик, Россия, ORCID 0000-0002-2135-2115.
     Gekkieva Sakinat Khasanovna – PhD (Phys. & Math.), Head of the department of mathematical modeling of geophysical processes, Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Center of RAS, Nalchik, Russia, ORCID 0000- 0002-2135-2115.

1

1

        KerКерефов Марат Асланбиевич – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики Института физики и математики, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, г. Нальчик, Россия, ORCID 0000-0002-7442-5402.

    Kerefov Marat Aslanbievich – PhD (Phys. & Math.), Associate Professor of Department of applied mathematics and Informatics of Institute physics and mathematics, Kabardino-Balkarian State University named after H. M. Berbekov, Nalchik, Russia, ORCID 0000-0002-7442-5402.

Скачать статью Геккиева С.Х., Керефов М.А.