Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 4(24). C. 19-28. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-19-28

УДК 517.95

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА АЛЛЕРА – ЛЫКОВА

С. Х. Геккиева

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А
E-mail: gekkieva_s@mail.ru

При математическом моделировании процессов различной природы, например, изучении процессов диффузии частиц в турбулентной плазме, распространения тепла в тонком нагретом стержне, переноса влаги в почвогрунтах, а также задач математической биологии и задач управления, возникают краевые задачи с нелокальным условием. В работе исследована нелокальная краевая задача для уравнения влагопереноса Аллера – Лыкова с дробной по времени производной Римана – Лиувилля. Рассматриваемое уравнение является обобщением уравнения Аллера – Лыкова, посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности, которая объясняет наличие потоков против потенциала влажности. С помощью метода энергетических неравенств для решения задачи получена априорная оценка в терминах дробной производной Римана – Лиувилля, из которой следует единственность решения.

Ключевые слова: уравнение влагопереноса, дробная производная Римана-Лиувилля, обобщенное уравнение Аллера – Лыкова, априорная оценка.

 

MSC 35E99

NONLOCAL BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR THE GENERALIZED ALLER – LYKOV MOISTURE TRANSPORT EQUATION

S. Kh. Gekkieva

Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Center of RAS, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89 A, Russia
E-mail: gekkieva_s@mail.ru

The mathematical modeling of different process types, for example, particle diffusion in a turbulent plasma, the propagation of heat in a thin rod, moisture transfer in soil, problems in mathematical biology and control problems, entails solving nonlocal boundary value problems. The paper considers a nonlocal boundary-value problem for the Aller – Lykov moisture transfer equation with a Riemann – Liouville time fractional derivative. The equation under consideration is a generalization of the Aller – Lykov equation obtained by introducing the concept of the fractal rate of humidity change, which explains the presence of flows moving against the water potential. For the solution to the problem, an a priori estimate has been obtained by the method of energy inequalities in terms of the fractional Riemann – Liouville derivative, which implies the uniqueness of the solution.

Key words: equation of moisture transfer, fractional Riemann – Liouville derivative, generalized Aller – Lykov equation, a priori estimate.

 

Список литературы/References

  1. Чудновский А. Ф., Теплофизика почв, Наука, М., 1976, 352 с. [Chudnovskij A. F., Teplofizika pochv, Nauka, M., 1976, 352 pp.]
  2. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nakhushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]
  3. Керефов М. А., “Об одной краевой задаче для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной”, Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 4:1 (1999), 12–14. [Kerefov M. A., “Ob odnoj kraevoj zadache dlya modificirovannogo uravneniya vlagoperenosa s drobnoj po vremeni proizvodnoj”, Dokl. Adyg. (Cherkes.) Mezhdunar. akad. nauk, 4:1 (1999), 12–14].
  4. Керефов М. А., Геккиева С. Х., “Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной в многомерной области”, Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика., 41:23 (220) (2015), 17–23. [Kerefov M. A., Gekkieva S. Kh., “Kraevye zadachi dlya modificirovannogo uravneniya vlagoperenosa s drobnoj po vremeni proizvodnoj v mnogomernoj oblasti”, Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Fizika., 41:23 (220) (2015), 17–23].
  5. Керефов М. А., Геккиева С. Х., “Нелокальная краевая задача для обобщенного уравнения влагопереноса”, Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, 2017, № 2, 106–112. [Kerefov M. A., Gekkieva S. Kh., “Nelokal’naya kraevaya zadacha dlya obobshchennogo uravneniya vlagoperenosa”, Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika, 2017, № 2,
    106–112].
  6. Кулик В. Я., “Исследование движения почвенной влаги с точки зрения инвариантности относительно непрерывных групп преобразований”, Исследование процессов обмена энергией и веществом в системе почва-растение-воздух, Наука, Л., 1972, 315 с. [Kulik V. YA., “Issledovanie dvizheniya pochvennoj vlagi s tochki zreniya invariantnosti otnositel’no nepreryvnyh grupp preobrazovanij”, Issledovanie processov obmena ehnergiej i veshchestvom v sisteme pochva-rastenie-vozduh, Nauka, L., 1972, 315 pp.]
  7. Лафишева М. М., Керефов М. А., Дышекова Р. В., “Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера – Лыкова с нелокальным условием”, Владикавказский математический журнал, 19:1 (2017), 50–58. [Lafisheva M. M., Kerefov M. A., Dyshekova R. V., “Raznostnye skhemy dlya uravneniya vlagoperenosa Allera – Lykova s nelokal’nym usloviem”, Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal, 19:1 (2017), 50–58].
  8. Геккиева С. Х., “Первая краевая задач для уравнения влагопереноса Аллера – Лыкова с дробной по времени производной”, Устойчивое развитие: проблемы, концепции, модели, Материалы Всероссийской конференции с международным участием, 2017, 99–102. [Gekkieva S. Kh., “Pervaya kraevaya zadach dlya uravneniya vlagoperenosa Allera-Lykova s drobnoj po vremeni proizvodnoj”, Ustojchivoe razvitie: problemy, koncepcii, modeli, Materialy Vserossijskoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem, 2017, 99–102].
  9. Чудновский А. Ф., “Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло и влагопереноса в почве”, Cб. трудов по агрофизике, 1969, 41–54. [Chudnovskij A. F., “Nekotorye korrektivy v postanovke i reshenii zadach teplo i vlagoperenosa v pochve”, Cb.  trudov po agrofizike, 1969, 41–54].
  10. Керефов М. А., Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной, Дис. . . . канд. физ.-мат. наук, Нальчик, 2000, 75 с. [Kerefov M. A., Kraevye zadachi dlya modificirovannogo uravneniya vlagoperenosa s drobnoj po vremeni proizvodnoj, Dis. . . . kand. fiz.-mat. nauk, Nal’chik, 2000, 75 pp.]
  11. Баззаев А. К., Гутнова Д. К, Шхануков-Лафишев М. Х., “Локально-одномерная схема для параболического уравнения с нелокальным условием”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:6 (2012), 1048–1057. [Bazzaev A. K., Gutnova D. K, SHkhanukov-Lafishev M. H., “Lokal’no-odnomernaya skhema dlya parabolicheskogo uravneniya s nelokal’nym usloviem”, Zh. vychisl. matem. i matem. fiz., 52:6 (2012), 1048–1057].
  12. Архестова С. М., Шхануков-Лафишев М. Х, “Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера–Лыкова с нелокальным условием”, Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН, 2012, № 3, 7–16. [Arhestova S. M., Shkhanukov-Lafishev M.H, “Raznostnye skhemy dlya uravneniya vlagoperenosa Allera–Lykova s nelokal’nym usloviem”, Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo centra RAN, 2012, № 3, 7–16].
  13. Геккиева С. Х., Керефов М. А., “Краевые задачи для обобщенного уравнения влагопереноса”, Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2018, № 1 (21), 21–32. [Gekkieva S. Kh., Kerefov M. A., “Kraevye zadachi dlya obobshchennogo uravneniya vlagoperenosa”, Vestnik KRAUNC. Fiziko-matematicheskie nauki, 2018, № 1 (21), 21–32].
  14. Керефов М. А., Геккиева С. Х., “Первая краевая задача для неоднородного нелокального волнового уравнения”, Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика, 2016, № 4, 76–86. [Kerefov M. A., Gekkieva S. Kh., “Pervaya kraevaya zadacha dlya neodnorodnogo nelokal’nogo volnovogo uravneniya”, Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika, informatika, 2016, № 4, 76–86].
  15. Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pskhu A. V., Uravneniya v chastnyh proizvodnyh drobnogo poryadka, Nauka, M., 2005, 199 pp.]

Список литературы (ГОСТ)

  1. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука,1976. 352 c.
  2. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 c.
  3. Керефов М.А. Об одной краевой задаче для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 1999. Т. 4. №1. С. 12-14.
  4. Керефов М.А., Геккиева С.Х. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной в многомерной области // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2015. Т. 41. №23 (220). С.17-23.
  5. Керефов М.А., Геккиева С.Х. Нелокальная краевая задача для обобщенного уравнения влагопереноса // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2017. №2. С. 106-112.
  6. Кулик В.Я. Исследование движения почвенной влаги с точки зрения инвариантности относительно непрерывных групп преобразований // Сб. «Исследование процессов обмена энергией и веществом в системе почва-растение-воздух» Л.: Наука, 1972. 315 c.
  7. Лафишева М.М., Керефов М.А., Дышекова Р.В. Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова с нелокальным условием // Владикавказский математический журнал. 2017. Т. 19. №1. С. 50—58.
  8. Геккиева С.Х. Первая краевая задач для уравнения влагопереноса Аллера- Лыкова с дробной по времени производной // Устойчивое развитие: проблемы, концепции, модели. Материалы Всероссийской конференции с международным участием. 2017. C. 99-102.
  9. Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло и влагопереноса в почве // Cб. трудов по агрофизике. 1969. C. 41-54.
  10. Керефов М.А. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной. Дис.  канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2000. 75 c.
  11. Баззаев А.К., Гутнова Д.К, Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для параболического уравнения с нелокальным условием // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. №6. С. 1048-1057.
  12. Архестова С.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова с нелокальным условием // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2012. №3. С. 7-16.
  13. Геккиева С. Х., Керефов М. А. Краевые задачи для обобщенного уравнения влагопереноса // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2018. №1(21). С. 21—32.
  14. Керефов М.А., Геккиева С.Х. Первая краевая задача для неоднородного нелокального волнового уравнения // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2016. №4. С. 76-86.
  15. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука. 2005. 199 c.

 

Для цитирования: Геккиева С. Х. Нелокальная краевая задача для обобщенного уравнения влагопереноса Аллера – Лыкова // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 4(24). C. 19-28. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-19-28.
For citation: Gekkieva S. Kh. Nonlocal boundary-value problem for the generalized Aller-Lykov moisture transport equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 24: 4, 19-28. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-19-28.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 18.09.2018


  ГеккиеваGek Сакинат Хасановна – кандидат физико-математических наук, заведующий отделом математического моделирования геофизических процессов, Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, г. Нальчик, Россия, ORCID 0000-0002-2135-2115.
     Gekkieva Sakinat Khasanovna – PhD (Phys. & Math.), Head of the department of mathematical modeling of geophysical processes, Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Center of RAS, Nalchik, Russia, ORCID 0000- 0002-2135-2115.

Скачать статью Геккиева С.Х.