Вестник КРАУНЦ.Физ.-мат. науки. 2021. Т. 36. №3. C. 65-71. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска/Contents of this issue

УДК 517.95

Научная статья

Смешанная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного
порядка с различными началами

Л.М. Энеева¹²

¹Институт прикладной математики и автоматизации, Кабардино-Балкарский научный центр РАН, 360017, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А, Россия
²Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского,173, Россия

E-mail: eneeva72@list.ru

Решается смешанная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения, содержащего композицию лево- и правосторонних операторов дробного дифференцирования Римана-Лиувилля и Капуто. Задача эквивалентно редуцирована к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для которого найдено достаточное условие однозначной разрешимости. В качестве следствия,для исследуемой задачи доказано неравенство Ляпунова.

Ключевые слова: уравнение с дробными производными с различными началами, смешанная краевая задача, производная Римана-Лиувилля, производная Капуто, неравенство Ляпунова.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-65-71

Поступила в редакцию: 11.09.2021

В окончательном варианте: 04.10.2021

Для цитирования. Энеева Л. М. Смешанная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 36. № 3. C. 65-71. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-
36-3-65-71

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Финансирование. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке по проекту «Водное благополучие и зеленая экономика» в рамках программы «Приоритет 2030».

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International
(https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Энеева Л. М., 2021

MSC 26A33

Research Article

Mixed boundary value problem for an ordinary differential equation with fractional derivatives with different origins

L. M. Eneeva¹²

¹Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkarian Scientific Center RAS, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89 A, Russia
²Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekov,
360004, Nalchik, Chernyshevsky St., 173, Russia

E-mail: eneeva72@list.ru

A mixed boundary value problem is solved for an ordinary differential equation containing a composition of left- and right-sided Riemann-Liouville and Caputo fractional differentiation operators. The problem is equivalently reduced to a Fredholm integral equation of the second kind, for which a sufficient condition for unique solvability is found. As a consequence, the Lyapunov inequality is proved for the problem under study.

Key words: fractional differential equation with different origins, mixed boundary value problem, Riemann-Liouville derivative, Caputo derivative, Lyapunov inequality.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-65-71

Original article submitted: 11.09.2021

Revision submitted: 04.10.2021

For citation. Eneeva L. M. Mixed boundary value problem for an ordinary differential equation with fractional derivatives with different origins. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021, 36: 3, 65-71. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-65-71

Competing interests. The author declares that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. The author contributed to this article. The author is solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by the author.

Funding. This work was carried out with partial financial support under the «Water Wellbeing and Green Economy»project within the framework of the «Priority 2030″program.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Eneeva L. M., 2021

Список литературы/References

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М:: Физматлит, 2003. 272 с. [Nakhushev A. M. Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye. M.: Fizmatlit, 2003. 272 pp. (In Russian)]
  2. Рехвиашвили С. Ш.Формализм Лагранжа с дробной производной в задачах механики // Письма в ЖТФ, 2004. Т. 30, №2, С. 33–37 [Rekhviashvili S. SH. Formalizm Lagranzha s drobnoy proizvodnoy v zadachakh mekhaniki // Pis’ma v ZHTF, 2004. vol. 30, no. 2, pp. 33–37 (In Russian)].
  3. Рехвиашвили С. Ш.К определению физического смысла дробного интегро-дифференцирования // Нелинейный мир, 2007. Т. 5, №4, С. 194–197. [Rekhviashvili S. SH.K opredeleniyu fizicheskogo smysla drobnogo integro-differentsirovaniya // Nelineynyy mir, 2007. vol. 5, no. 4, pp. 194–197 (In Russian)].
  4. Энеева Л. М.Краевая задача для дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 3, №2(11), С. 39–44. [Eneeva L. M. Krayevaya zadacha dlya differentsial’nogo uravneniya s proizvodnymi drobnogo poryadka s razlichnymi nachalami //Vest. KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 2015. vol. 3, no. 2(11), pp. 39–44 (In Russian)].
  5. Энеева Л. М.Оценка первого собственного значения задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами //Известия КБНЦ РАН, 2017. №1(75), С. 34–40. [Eneeva L. M. Otsenka pervogo sobstvennogo znacheniya zadachi Dirikhle dlya obyknovennogo differentsial’nogo uravneniya s proizvodnymi drobnogo poryadka s razlichnymi nachalami // Izvestiya KBNTS RAN, 2017. no. 1(75), pp. 34–40 (In Russian)].
  6. Энеева Л. М.О задаче Неймана для уравнения с дробными производными с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2017. №1(75), С. 34–40. [Eneeva L. M.O zadache
    Neymana dlya uravneniya s drobnymi proizvodnymi s razlichnymi nachalami //Vest. KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki., 2017. no. 1(75), pp. 34–40 (In Russian)].
  7. Энеева Л. М.Нерaвенство Ляпунова для уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2019. №3(28), С. 32–40. [Eneeva L. M. Neravenstvo Lyapunova dlya uravneniya s proizvodnymi drobnogo poryadka s razlichnymi nachalami //Vest. KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 2019. no. 3(28), pp. 32–40 (In Russian)].
  8. Eneeva L. M., Pskhu A. V., Potapov A. A., Feng T., Rekhviashvili S. Sh. Lyapunov inequality for a fractional differential equation modelling damped vibrations of thin film MEMS//Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019, E19100.
  9. Rekhviashvili S. Sh., Pskhu A. V., Potapov A. A., Feng T., Eneeva L.M. Modeling damped vibrations of thin film MEMS//Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019, E19101.
  10. Ляпуновъ А. М. Объ одномъ вопросе, касающемся линейныхъ дифференцiальныхъ уравненiй второго порядка съ перiодическими коэффицiентами // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер., 1897. Т. 5, С. 190–254. [Lyapunov A. M. Ob odnom voprose, kasayushchemsya lineynykh differentsial’nykh uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsientami // Soob. Khar’kov. matem. obshch. Vtoraya ser., 1897. vol. 5, pp. 190–254 (In Russian)].
  11. Brown R. C., Hinton D. B. Lyapunov Inequalities and their Applications, Survey on Classical Inequalities. Mathematics and Its Applications.. Dordrecht: Springer, 2000. 517 pp.
  12. Ferreira R.A.C.A Lyapunov-type inequality for a fractional boundary value problem// Fract. Calc. Appl. Anal., 2013. vol. 16, no. 4, pp. 978–984.
  13. Stanković B. An equation with left and right fractional derivatives // Publications de l’institut mathématique. Nouvelle série, 2006. vol. 80(94), pp. 259–272.
  14. Atanackovic T. M., Stankovic B. On a differential equation with left and right fractional derivatives // Fractional Calculus and Applied Analysis, 2007. vol. 10, no. 2, pp. 139–150.
  15. Torres C. Existence of a solution for the fractional forced pendulum // Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics, 2014. vol. 13, no. 1, pp. 125–142.
  16. Tokmagambetov N., Torebek B. T. Fractional Analogue of Sturm-Liouville Operator // Documenta Mathematica, 2016. vol. 21, pp. 1503–1514.
  17. Eneeva L., Pskhu A., Rekhviashvili S. Ordinary Differential Equation with Left and Right Fractional Derivatives and Modeling of Oscillatory Systems // Mathematics, 2020. vol. 8(12), pp. 2122.
  18. Rekhviashvili S. Sh., Pskhu A. V., Agarwal P., Jain Sh. Application of the fractional oscillator model to describe damped vibrations //Turkish Journal of Physics, 2019. vol. 43, pp. 236–242.
  19. Rekhviashvili S. Sh., Pskhu A. V. New Method for Describing Damped Vibrations of a Beam with a Built-in End //Technical Physics, 2019. vol. 64, pp. 1237–1241.

Энеева Лиана Магометовна – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела моделирования геофизических процессов Института прикладной математики и автоматизации, республика Кабардино-Балкария, г. Нальчик, Россия.

Eneeva Liana Magometovna – Ph.D. (Phys. & Math.), Senior Researcher, Department of Modeling Geophysical Processes, Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkaria, Nalchik, Russia.

Читать статью/Read articleСкачать/Download