Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 41-47. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-41-47

УДК 517.927

АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С РАЗЛИЧНЫМИ НАЧАЛАМИ

Л. М. Энеева

Институт прикладной математики и автоматизации – филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр РАН» , 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А

E-mail: eneeva72@list.ru

В работе исследуется обыкновенное дифференциальное уравнение дробного порядка, содержащее композицию дробных производных с различными началами, с переменным потенциалом. Рассматриваемое уравнение выступает модельным уравнением движения во фрактальной среде. Для исследуемого уравнения доказана априорная оценка решения смешанной двухточечной краевой задачи.

Ключевые слова: дробная производная Римана-Лиувилля, дробная производная Капуто, краевая задача, априорная оценка.

© Энеева Л. М., 2019

MSC 26A33

A PRIORI ESTIMATE FOR AN EQUATION WITH FRACTIONAL DERIVATIVES WITH DIFFERENT ORIGINS

L. M. Eneeva

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89 A, Russia

E-mail: eneeva72@list.ru

We consider an ordinary differential equation of fractional order with the composition of leftand right-sided fractional derivatives, and with variable potential. The considered equation is a model equation of motion in fractal media. We prove an a priori estimate for solutions of a mixed two-point boundary value problem for the equation under study.

Key words: Riemann-Liouville fractional derivative, Caputo fractional derivative, boundary value problem, a priori estimate

© Eneeva L. M., 2019

Список литературы/References

  1. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, Москва, 2003, 272 с. [Nakhushev A. M., Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye, Fizmatlit, Moskva, 2003, 272 pp., (in Russian)].
  2. Рехвиашвили С. Ш., “Формализм Лагранжа с дробной производной в задачах механики”, Письма в ЖТФ, 30:2 (2004), 33–37. [Rekhviashvili S. SH., “Formalizm Lagranzha s drobnoy proizvodnoy v zadachakh mekhaniki”, Pis’ma v ZHTF, 30:2 (2004), 33–37, (in Russian)].
  3. Рехвиашвили С. Ш., “К определению физического смысла дробного интегро-дифференцирования”, Нелинейный мир, 5:4 (2007), 194–197. [Rekhviashvili S. SH., “K opredeleniyu fizicheskogo smysla drobnogo integro-differentsirovaniya”, Nelineynyy mir, 5:4 (2007), 194–197, (in Russian)].
  4. Stankovi´c B., “An equation with left and right fractional derivatives”, Publications de l’institut mathe´ matique. Nouvelle se´ rie,, 80(94) (2006), 259–272.
  5. Atanackovic T. M., Stankovic B., “On a differential equation with left and right fractional derivatives”, Fractional Calculus and Applied Analysis, 10:2 (2007), 139–150.
  6. Torres C., “Existence of a solution for the fractional forced pendulum”, Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics, 13:1 (2014), 125–142.
  7. Энеева Л. М., “Краевая задача для дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами”, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 3:2(11) (2015), 39–44. [Eneyeva L. M., “Krayevaya zadacha dlya differentsial’nogo uravneniya s proizvodnymi drobnogo poryadka s razlichnymi nachalami”, Vestnik
    KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 3:2(11) (2015), 39–44, (in Russian)].
  8. Tokmagambetov N., Torebek B. T., “Fractional Analogue of Sturm-Liouville Operator”, Documenta Mathematica, 21 (2016), 1503–1514.
  9. Энеева Л. М., “Оценка первого собственного значения задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами”, Известия КБНЦ РАН, 2017, №1(75), 34–40. [Eneyeva L. M., “Otsenka pervogo sobstvennogo znacheniya zadachi Dirikhle dlya obyknovennogo differentsial’nogo uravneniya s proizvodnymi drobnogo poryadka s razlichnymi nachalami”, Izvestiya KBNTS RAN, 2017, №1(75), 34–40, (in Russian)].
  10. Энеева Л. М., “О задаче Неймана для уравнения с дробными производными с различными началами”, Вестник КРАУНЦ. Физ.- мат. науки., 2018, №4(24), 61–65. [Eneyeva L. M., “O zadache Neymana dlya uravneniya s drobnymi proizvodnymi s razlichnymi nachalami”, Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki., 2018, №4(24), 61–65, (in Russian)].
  11. Энеева Л. М., “Нерваенство Ляпунова для уравнения с производными дробного порядка с различными началами”, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки., 2019, №3(28), 32–49. [Eneyeva L. M., “Nervayenstvo Lyapunova dlya uravneniya s proizvodnymi drobnogo poryadka s razlichnymi nachalami”, Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki., 2019, №3(28), 32–49, (in Russian)].
  12. Eneeva L.M., Pskhu A.V., Potapov A.A., Feng T., Rekhviashvili S.Sh., “Lyapunov inequality for a fractional differential equation modeling damped vibrations of thin film MEMS”, Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019 (paper ID: E19100), 2019.
  13. Rekhviashvili S.Sh., Pskhu A.V., Potapov A.A., Feng T., Eneeva L.M., “Modeling damped vibrations of thin film MEMS”, Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019 (paper ID: E19101), 2019.
  14. George A. Anastassiou, “Fractional representation formulae and right fractional inequalities”, Mathematical and Computer Modelling, 2011, №54, 3098–3115.
  15. George A. Anastassiou, Fractional Differentiation Inequalities, Springer-Verlag, New York, 2009, 675 pp.

Список литературы (ГОСТ)

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 c.
  2. Рехвиашвили С. Ш. Формализм Лагранжа с дробной производной в задачах механики // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. №2. С. 33–37.
  3. Рехвиашвили С. Ш. К определению физического смысла дробного интегро-дифференцирования // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. №4. С. 194–197
  4. Stankovi´c B. An equation with left and right fractional derivatives // Publications de l’institut math´ematique. Nouvelle s´erie. 2006. vol. 80(94). pp. 259–272.
  5. Atanackovic T. M., Stankovic B. On a differential equation with left and right fractional derivatives // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2007. vol. 10. issue 2. pp. 139–150.
  6. Torres C. Existence of a solution for the fractional forced pendulum // Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics. 2014. vol. 13. issue 1. pp. 125–142.
  7. Энеева Л. М. Краевая задача для дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. vol. 2(11). C. 39–44
  8. Tokmagambetov N., Torebek B. T. Fractional Analogue of Sturm-Liouville Operator // Documenta Mathematica. 2016. vol. 21. pp. 1503–1514
  9. Энеева Л. М. Оценка первого собственного значения задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Известия КБНЦ РАН. 2017. №1(75). С. 34–40
  10. Энеева Л. М. О задаче Неймана для уравнения с дробными производными с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. №4(24). С. 61–65.
  11. Энеева Л. М. Неравенство Ляпунова для уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. 3(28). C. 32–49.
  12. Eneeva L.M., Pskhu A.V., Potapov A.A., Feng T., Rekhviashvili S.Sh. Lyapunov inequality for a fractional differential equation modeling damped vibrations of thin film MEMS. Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019 (paper ID: E19100).
  13. Rekhviashvili S.Sh., Pskhu A.V., Potapov A.A., Feng T., Eneeva L.M. Modeling damped vibrations of thin film MEMS // Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019 (paper ID: E19101)
  14. George A. Anastassiou. Fractional representation formulae and right fractional inequalities // Mathematical and Computer Modelling. 2011. vol. 54. p. 3098–3115.
  15. George A. Anastassiou. Fractional Differentiation Inequalities. New York: Springer-Verlag, 2009. 675 c.

Для цитирования: Энеева Л. М. Априорная оценка для уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 41-47. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-41-47
For citation: Eneeva L. M. A priori estimate for an equation with fractional derivatives with different origins, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 29: 4, 41-47. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-41-47

Поступила в редакцию / Original article submitted: 20.11.2019

Энеева Лиана Магометовна – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела моделирования геофизических процессов Института прикладной математики и автоматизации, республика Кабардино-Балкария, г. Нальчик, Россия.
Eneeva Liana Magometovna – Ph.D. (Phys. & Math.), Senior Researcher, Department of Modeling Geophysical Processes, Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkaria, Nalchik, Russia.

Читать статью/Read articleСкачать/Download