Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 6-20. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-6-20

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956.6

ОБ ОДНОМ ТРЁХМЕРНОМ АНАЛОГЕ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ

Ю.П. Апаков

Наманганский инженерно-строительный институт, 160103. Узбекистан, г. Наманган, ул. И.Каримова,12
E-mail: apakov.1956@mail.ru

Для параболо-гиперболического уравнения исследуются трехмерный аналог задачи Трикоми с нехарактеристическими параллельными плоскостями изменения типов уравнения. Единственность решения задачи доказана методом априорных оценок, а существование решения задачи сведено к существованию решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

Ключевые слова: параболо- гиперболическое уравнение, нехарактеристическая плоскость, задача Трикоми, преобразование Фурье,принцип максимума, априорная оценка, единственность, существование, система интегральных уравнений.

MSC 35M10

ABOUT THREE-DIMENSIONAL ANALOGUE OF THE PROBLEM OF TRICOMI WITH PARALLEL PLANES OF EXTINCTION

Yu.P. Apakov

Namangan Engineering and Construction Institute, 160103, Uzbekistan, Namangan, I. Karimov str, 12
E-mail: apakov.1956@mail.ru

Three-dimensional analogue of the problem of Tricomi with non-characteristic parallel planes of change of types of the equation is investigated for a parabolic-hyperbolic equation. The uniqueness of the solution of the problem is proved by the method of a priori estimates, and the existence of the solution of the problem is enlightened to the existence of a solution of the system of the second type Voltaire integral equation.

Key words: Tricomi problem, parabolic-hyperbolic equation, non-characteristic plane, Fourier transform, maximum principle, apriori estimate, uniqueness, existence, system of integral equations.

Список литературы

  1. Гельфанд И. М., “Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений”, Успехи мат. наук, 14:3(87) (1956), 3-19. [Gelfand I.M, “Nekotorye voprosy analiza i differensial’nykh uravneniy”, Uspekhi math. Nauk, 14:3(87) (1956), 3-19].
  2. Стручина Г. М., “Задача о сопряжении двух уравнений”, Инж.-физ. журн., 4:11 (1961), 99-104. [Struchina G. M., “Zadacha o sopryazhenii dvuh uravneniy”, Inzh.-fiz. zkurn., 4:11 (1961), 99-104].
  3. Уфлянд Я. С., “К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях”, Инж.-физ. журн., 7:1 (1964), 89-92. [Uflyand Ya. S., “K voprosu o rasprostronenii kolebaniy v sostavnyh elektricheskih liniyah”, Inj.-fiz. zhurn., 7:1 (1964), 89-92].
  4. Джураев Т. Д., Сопуев А., Мамажанов М. М., Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа, Фан, Ташкент, 1986, 220 с. [Dzhuraev T. D., Sopuev A.,Mamazhanov M. M., Kraeviye zadachi dlya uravneniy parabolo giperbolicheskogo tipa, Fan, Tashkent, 1986, 220 pp.]
  5. Бицадзе А. В., “Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми”, Сибир. мат. журн., 3 (1962), 642-644. [Bitsadze A.V., “Ob odnom tryohmernom analoge zadachi Tricomi”, Sibir.math. zhurn., 7:1 (1964), 89-92].
  6. Нахушев А. М., “Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстедта”, Дифференциальное уравнение, 4:1 (1968), 52-62. [Nakhushev A. M., “Ob odnom tryohmernom analoge zadachi Gellerstedta”, Diff. urav., 4:1 (1968), 52-62].
  7. Ежов А. М., Пулькин С. П., “Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа”, Докл. АН СССР, 193:5 (1970), 978-980. [Ejov A. M.,Pulkin S. P., “Otsenka resheniya zadachi Tricomi dlya odnogo klassa uravneniy smeshannogo tipa”, Dokl. AN SSSR, 193:5 (1970), 978-980].
  8. Ежов А. М., “О решении пространственной задачи для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями вырождения”, Дифф. уравн.Труды пединститутов РСФСР, 1973, №2, 84-102. [Ezhov A. M., “O reshenii prostranstvennoy zadachi dlya uravneniy smeshannogo tipa s dvumya ploskostyami virojdeniya”, Diff. urav. Trudiy pedinstitutov RSFSR, 1973, №2, 84-102].
  9. Пономарев С. М., “К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных областях”, Докл. АН СССР, 246:6 (1979), 1303-1306. [Ponamarev S. M., “K teorii kraevih zadach dlya uravneniy smeshannogo tipa v tryohmerniyh oblastyah”, Dokl. AN SSSR, 246:6 (1979), 1303-1306]
  10. Салахитдинов М. С., Исломов Б., “Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа”, Функциональные методы в прикладной математике и математической физики, Тезисы докл. Всесоюз. школы молодых ученых. 11-17 мая 1988. Т. 2, ТашГУ, Ташкент, 1988, 51-52. [Salaxitdinov M. S., Islomov B., “Ob odnom tryohmernom analoge zadachi Tricomi diya uravneniya smeshannogo tipa”, Funksionalniye metodiy v prikladnoy matematike i matematicheskoy fiziki, Tezisi dokl.Vsesoyuz. shkoliy molodiyh uchyoniyh. 11-17 may 1988. V 2-h chast. V. 2, TashGU, Tashkent, 1988, 51-52].
  11. Салахитдинов М. С., Исломов Б., “О трехмерном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа”, Докл. АН СССР, 311:4 (1990), 797-801. [Salaxitdinov M. S., Islomov B., “O tryoxmernom analoge zadachi Tricomi diya uravneniya smeshannogo tipa”, Dokl. AN SSSR, 311:4 (1990), 797-801].
  12. Салахитдинов М. С., Исломов Б., “Краевые задачи для уравнения cмешанного эллиптико- гиперболического типа в пространстве”, УзМЖ, 1993, №3, 13-20. [Salahitdinov M. S., Islamov B., “Kraeviye zadachi dlya uravneniy smeshannogo elliptikogiperbolicheskogo tipa v prostranstve”, UzMkh, 1993, №3, 13-20].
  13. Джураев Т. Д., Сопуев А., “Об одной пространственной задаче для уравнения смешанного параболо — гиперболического типа”, Дифф. уравн., 17:1 (1981), 50-57. [Dzhuraev T. D., Sopuev A., “Ob odnoy prostranstvennoy zadache dlya uravneniya smeshannogo parabolo-giperbolicheskogo tipa”, Diff. urav., 17:1 (1981), 50-57].
  14. Сопуев А., “Оценка решения одной задачи Геллерстедта для смешанного уравнения параболо-гиперболического типа”, Докл. АН УзССР, 1982, №7, 3-4. [Сопуев А., “Otsenka resheniya odnoy zadachi Gellerstedta dlya smeshannogo uravneniya parabologiperbolicheskogo tipa”, Dokl.AN UzSSR, 1982, №7, 3-4].
  15. Джураев Т. Д., Сопуев А., Апаков Ю. П., “Краевые задачи для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа”, Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей, Институт математика АН УзССР, Фан, Ташкент, 1987, 56-65. [Dzhuraev T. D., Sopuev A., Apakov Yu. P., “Kraeviye zadachi dlya parabolo-giperbolicheskogo uravneniya s xarakteristicheskoy liniyey izmeneniya tipa”, Uravneniya smeshannogo tipa i so svobodnoy granitsey, Institut matematiki AN UzSSR, Fan, Tashkent, 1987, 56-65].
  16. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П., “Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа в трехмерном пространстве”, Известия АН УзССР. Серия физ.-мат. наук, 1986, №3, 21-27. [Dzhuraev T. D., Apakov Yu. P., “Zadachi Tricomi dlya parabolo-giperbolicheskogo uravneniya s neharakteristicheskoy liniyey izmeneniya tipa v tryohmernom prostranstve”, Izvestiya AN UzSSR, Seriya fiz.-mat. Nauk, 1986, №3, 21-27].
  17. Исломов Б., “Об одной трехмерной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа”, Докл. АН УзССР, 1989, №9, 3-5. [Islomov B., “Ob odnoy tryohmernoy zadache dlya uravneniya smeshannogo parabolo-giperbolicheskogo tipa”, Dokl. AN UzSSR, 1989, №9, 3-5].
  18. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П., “Задача Геллерстедта для параболо-гиперболического уравнения в трехмерном пространстве”, Дифф. уравн., 26:3 (1990), 438-448. [Dzhuraev T. D. and Apakov Yu. P., “Gellerstedt’s problem for a parabolic-hyperbolic equation in threedimensional space”, Differential equations, 26:3 (1990), 322-330].
  19. Апаков Ю. П., “Трехмерный аналог задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения”, Сибирский журнал индустриальной математики, 14:2(46) (2011), 34-44. [Apakov Yu. P., “A Three — Dimensional Analog of the Tricomi Problem for a Parabolic-Hyperbolic Equation”, Journal of Applied and Industrial Mathematics, 6:1 (2012), 1-11].
  20. Agmon S., Nirenberg L., Protter M. H., “A maximum principal for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type”, Communes Pure and Appl. Math, 4 (1953), 455-470.
  21. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А., “Линейные уравнения второго порядка параболического типа”, Успехи матем. наук, 17:3 (1962), 21-73. [Ilin A. M., Kalashnikov A. S., Oleynik O. A., “Lineyniye uravneniya vtorogo poryadka parabolicheskogo tipa”, Uspehi matem.nauk, 17:3 (1962), 21-73].
  22. Кружков С. Н., Якубов С., “О разрешимости одного класса задач с неизвестной границей для уравнения теплопроводности и поведении решений при неограниченном возрастании времени”, Динам. сплош. среды, 1978, №36, 46-70. [Kruzhkov S. N., Yakubov C., “O razreshimosti odnogo klassa zadach s neizvestnoy granitsey dlya uravneniya teploprovodnosti i povidenii reshenii resheniy pri neogranichennom vozrostanii vremeni”, Dina. splosh. srediy., 1978, №36, 46-70].
  23. Михлин С. Г., Линейные уравнения математической физики, Наука, М., 1964, 368 с. [Mihlin S. G., Lineyniye uravneniya matematicheskoy fiziki, Nauka, Moskva, 1964, 368 pp.]
  24. Капилевич М. Б., “Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа”, Матем. сборник, 30(72) (1952), 11-38. [Kapilevich M. B., “Ob odnom uravnenii smeshannogo elliptiko-giperbolicheskogo tipa”, Matem. sbornik, 30(72) (1952), 11-38].
  25. Трикоми Ф., Лекции по уравнениям в частных производных., Иност. литер., М., 1957, 444 с. Trikomi F., Lektsii po uravniniyam v chastniyx proizvodniyx, Inost. liter., Moskva, 1957, 444 pp.]

 

Список литературы (ГОСТ)

  1. Гельфанд И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений //Успехи мат. наук. 1956. Т. 14, вып. 3(87). С. 3-19.
  2. Стручина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений // Инж.-физ. журн. 1961. Т. 4. № 11. С. 99-104.
  3. Уфлянд Я.С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях // Инж.-физ. журн. 1964. Т. 7. № 1. С. 89-92.
  4. Джураев Т.Д.,А.Сопуев, М.М.Мамажанов. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: Фан. 1986. 220 с.
  5. Бицадзе А.В. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми // Сибир. мат. журн. 1962.Т.3.-С.642-644.
  6. Нахушев А.М. Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстедта // Дифференциальное уравнение. 1968. Т.4. № 1.-С. 52-62.
  7. Ежов А.М., Пулькин С.П. Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1970. Т.193, №5. С. 978-980.
  8. Ежов А.М. О решении пространственной задачи для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями вырождения // Дифференциальное уравнение. Труды пединститутов РСФСР. 1973. Вып.2. С. 84-102.
  9. Пономарев С.М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных областях // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, № 6. С. 1303-1306.
  10. Салахитдинов М.С., Исломов Б. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа // Функциональные методы в прикладной математике и математической физики: Тезисы докл. Всесоюз. школы молодых ученых. 11-17 мая 1988. В 2-х ч. Ташкент, ТашГУ, 1988. Ч.2. С. 51-52.
  11. Салахитдинов М.С.,Исломов Б. О трехмерном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа // Докл. АН СССР. 1990. Т.311, № 4. С. 797-801.
  12. Салахитдинов М.С.,Исломов Б. Краевые задачи для уравнения cмешанного эллиптико-гиперболического типа в пространстве // УзМЖ. 1993. № 3. С. 13-20.
  13. Джураев Т.Д., Сопуев А. Об одной пространственной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференциальное уравнение. 1981. Т. 17. № 1. С. 50-57.
  14. Сопуев А. Оценка решения одной задачи Геллерстедта для смешанного параболо-гиперболического типа //Докл. АН УзССР. 1982. № 7.-С. 3-4.
  15. Джураев Т.Д., Сопуев А.,Апаков Ю.П. Краевые задачи для параболо- гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа // В кн. Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. Институт математика АН УзССР. Ташкент: Фан. 1987.- С.56-65.
  16. Джураев Т.Д., Апаков Ю.П. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа в трехмерном пространстве // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. 1986, № 3. С.21-27.
  17. Исломов Б. Об одной трехмерной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа //Докл. АН УзССР. 1989.№ 9.-С.3-5.
  18. Джураев Т.Д., Апаков Ю.П. Задача Геллерстедта для параболо-гиперболического уравнения в трехмерном пространстве // Дифференциальное уравнение. 1990. Т.26. № 3.-С. 438-448.
  19. Апаков Ю.П. Трехмерный аналог задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения // Сибирский журнал индустриальной математики. Новосибирск, 2011. Том 14, № 2(46). С. 34-44.
  20. Agmon S., Nirenberg L., Protter M.H. A maximum principal for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type // Communes Pure and Appl. Math. 1953. Vol.4. P. 455-470.
  21. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3. С. 21-73.
  22. Кружков С.Н., Якубов С. О разрешимости одного класса задач с неизвестной границей для уравнения теплопроводности и поведении решений при неограниченном возрастании времени // Динам. сплош. среды. 1978. Вып. 36. С.46-70.
  23. Линейные уравнения математической физики. М.: Наука, 1964. 368 с.
  24. Капилевич М.Б. Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа // Матем. сборник. 1952. Т. 30(72). С.11-38.
  25. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Иностранная литература, 1957. 444 с.

Для цитирования: Апаков Ю. П. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми с параллельными плоскостями вырождения // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 6-20. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-6-20

For citation: Apakov Yu. P. About three-dimensional analogue of the problem of Tricomi with parallel planes of extinction, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 21: 1, 6-20. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-6-20

Поступила в редакцию / Original article submitted: 28.12.2017

В окончательном варианте / Revision submitted: 16.03.2018

 

Apakov

  Апаков Юсупжон Пулатович – доктор физико- математических наук, профессор кафедры Высшей математики, Наманганского инженерно-строительного института, г. Наманган, Республика Узбекистан, ORCID 0000-0001-8805- 8917.
   Apakov Yusupjon Pulatovich – Dr. Sci.(Phys.& Math.), Professor of the Department of Higher Mathematics, Namangan Civil Engineering Institute, Namangan, Republic of Uzbekistan, ORCID 0000-0001-8805-8917.

Скачать статью Апаков Ю.П.