Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 28-34. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-28-34

УДК 517.9

ЗАДАЧА С ЛОКАЛЬНЫМ СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДРОБНОЙ ДИФФУЗИИ

Ф. М. Лосанова

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А

E-mail: losanovaf@gmail.com

Для уравнения дробной диффузии исследуется нелокальная краевая задача первого рода, нелокальность которой проявляется в том, что в граничном условии задается линейная комбинация значений искомой функции. В работе доказана теорема о существовании и единственности решения поставленной задачи.

Ключевые слова: нелокальная краевая задача, дробная производная Римана–Лиувилля, уравнение дробной диффузии, функция типа Райта

© Лосанова Ф. М., 2019

MSC 34L99

LOCAL DISPLACEMENT PROBLEM FOR EQUATION OF FRACTIONAL DIFFUSION

F. M. Losanova

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia

E-mail: losanovaf@gmail.com

For the fractional diffusion equation, we study a nonlocal boundary value problem of the first kind. The problem nonlocality is manifested in the fact that a linear combination of the values of the desired function is specified in the boundary condition. The theorem on the existence and uniqueness of a solution to the problem is proved.

Key words: nonlocal boundary value problem, Riemann-Liouville fractional derivative, fractional diffusion equation, Wright type function.

© Losanova F. M., 2019

Список литературы/References

  1. Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высш. шк., М., 1995, 301 с. [Nakhushev A. M., Uravneniya matematicheskoy biologii, Vyssh. shk., M., 1995, 301 pp., (in Russian)].
  2. Бицадзе А. В., Самарский А. А., “О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач”, Докл. АН СССР, 185:4 (1969), 739–740. [Bitsadze A. V., Samarskiy A. A., “O nekotorykh prosteyshikh obobshcheniyakh lineynykh ellipticheskikh
    krayevykh zadach”, Dokl. AN SSSR, 185:4 (1969), 739–740, (in Russian)].
  3. Лосанова Ф. М., “Задача с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе”, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2015, №2(11), 17–21. [Losanova F. M., “Zadacha s usloviyem Samarskogo dlya uravneniya drobnoy diffuzii v polupolose”, Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 2015, №2(11), 17–21, (in Russian)].
  4. Кочубей А. Н., Эйдельман С. Д., “Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка”, Докл. РАН, 394:2 (2004), 159-161. [Kochubey A. N., Eydel’man S. D., “Zadacha Koshi dlya evolyutsionnykh uravneniy drobnogo poryadka”, Dokl. RAN, 394:2 (2004), 159—161, (in Russian)].
  5. Mainardi F., “Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena”, Chaos Solitons Fractals, 1996, №7:9, 1461—1477.
  6. Luchko Yu., Gorenflo R., “Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order”, Fract. Calc. Appl. Anal., 1:1 (1998), 63—78.
  7. Андреев А. А., Еремин А. С., “Краевая задача для уравнения диффузии с дробной производной по времени”, Математическое моделирование и краевые задачи, Тр. двенадцатой межвуз. конф.. Т. 3, СамГТУ, Самара, 2004, 3-9. [Andreyev A. A. , Yeremin
    A. S., “Krayevaya zadacha dlya uravneniya diffuzii s drobnoy proizvodnoy po vremeni”, Matematicheskoye modelirovaniye i krayevyye zadachi, Tr. dvenadtsatoy mezhvuz. konf.. V. 3, SamGTU, Samara, 2004, 3-9, (in Russian)].
  8. Псху А. В., “Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина”, Дифференциальные уравнения, 39:10 (2003), 1430–1433. [Pskhu A. V., “Resheniye krayevykh zadach dlya uravneniya diffuzii drobnogo poryadka metodom funktsii Grina”, Differentsial’nyye uravneniya, 39:10 (2003), 1430–1433, (in Russian)].
  9. Псху А. В., “Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка”, Дифференциальные уравнения, 39:9 (2003), 1286–1289. [Pskhu A. V., “Resheniye pervoy krayevoy zadachi dlya uravneniya diffuzii drobnogo poryadka”, Differentsial’nyye uravneniya, 39:9 (2003), 1286–1289, (in Russian)].
  10. Лосанова Ф. М., “Задача с нелокальным смещением для уравнения дробной диффузии”, Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 24:3 (2018), 35–40.
    [Losanova F. M., “Zadacha s nelokal’nym smeshcheniyem dlya uravneniya drobnoy diffuzii”, Vestnik Samarskogo universiteta. Yestestvennonauchnaya seriya, 24:3 (2018), 35–40, (in Russian)].
  11. Нахушев А. М., Задачи со смещением для уравнения в частных производных, Наука, М., 2006, 287 с. [Nakhushev A. M., Zadachi so smeshcheniyem dlya uravneniya v chastnykh proizvodnykh, Nauka, M., 2006, 287 pp., (in Russian)].
  12. Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pskhu A. V., Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka, Nauka, M., 2005, 199 pp., (in Russian)].
  13. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 688 с. [Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I., Integraly i proizvodnyye drobnogo poryadka i nekotoryye ikh prilozheniya, Nauka i tekhnika, Minsk, 1987, 688 pp., (in Russian)].
  14. Ильин В. А., Моисеев Е. И., “Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках”, Докл. АН СССР, 291:3 (1986), 534–538. [Il’in V. A., Moiseyev Ye. I., “Nelokal’naya krayevaya zadacha dlya operatora Shturma-Liuvillya v differentsial’noy i raznostnoy traktovkakh”, Dokl. AN SSSR, 291:3 (1986), 534–538, (in Russian)].
  15. Ильин В. А., Моисеев Е. И., “Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля”, Дифференциальные уравнения, 23:8 (1987), 1422–1431. [Il’in V. A., Moiseyev Ye. I., “Nelokal’naya krayevaya zadacha vtorogo roda dlya operatora Shturma-Liuvillya”, Differentsial’nyye uravneniya, 23:8 (1987), 1422–1431, (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

  1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 c.
  2. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. №4. С. 739–740.
  3. Лосанова Ф. М. Задача с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. №2(11). С. 17–21.
  4. Кочубей А. Н., Эйдельман С. Д. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Докл. РАН. 2004. Т. 394. №2. С. 159-161.
  5. Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena // Chaos Solitons Fractals. 1996. vol. 9. no. 7. pp. 1461—1477.
  6. Luchko Yu., Gorenflo R. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order // Fract. Calc. Appl. Anal. 1998. vol. 1. no. 1. pp. 63—78.
  7. Андреев А. А., Еремин А. С. Краевая задача для уравнения диффузии с дробной производной по времени // Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. двенадцатой межвуз. конф. Ч. 3. СамГТУ. Самара. 2004. С. 3-9.
  8. Псху А. В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. №10. С. 1430–1433.
  9. Псху А. В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. №9. С. 1286–1289.
  10. Лосанова Ф. М. Задача с нелокальным смещением для уравнения дробной диффузии // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2018. Т. 24. №3. С. 35–40.
  11. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 c.
  12. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 c.
  13. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 c.
  14. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291. №3. C. 534–538.
  15. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. №. 8. С. 1422–1431.

Для цитирования: Лосанова Ф. М. Задача с локальным смещением для уравнения дробной диффузии // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 28-34. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-28-34
For citation: Losanova F. M. Local displacement problem for equation of fractional diffusion, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 29: 4, 28-34. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-28-34

Поступила в редакцию / Original article submitted: 28.11.2019

Лосанова Фатима Мухамедовна – научный сотрудником лаборатории Синергетических проблем, Институт прикладной математики и автоматизации», Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, Россия.
Losanova Fatima Muhamedovna – Researcher at the Synergetic Problems Laboratory, Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkar Republic, Nalchik, Russia.