Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 98-105. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-98-105

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УДК 517.938

РАСЧЕТ МАКСИМАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДУФФИНГА СО СТЕПЕННОЙ ПАМЯТЬЮ 

В. А. Ким¹, Р. И. Паровик¹²

¹Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032 Россия, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
²Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034 Россия, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7

E-mail: valentinekim@mail.ru, romanparovik@gmail.com

При исследовании нелинейных систем одной из важных задач является определение типа колебаний – периодического, квазипериодического, случайного, хаотического. Особенно сложно отличить квазипериодические колебания от хаотических и случайных, так как квазипериодические колебания часто имеют очень сложную форму, визуально слабо отличимую от «случайной». Особенностью хаотических колебаний является их высокая чувствительность к малым изменениям начальных условий. Поэтому одним из наиболее надежных способов детектирования хаоса является определение скорости разбегания траекторий, которая оценивается с помощью спектра показателей Ляпунова. В работе с помощью построения спектра максимальных показателей Ляпунова в зависимости от значений управляющих параметров были найдены хаотические режимы фрактального осциллятора Дуффинга с переменной степенной памятью, построены и исследованы его фазовые траектории.

Ключевые слова: спектр максимальных показателей Ляпунова, фрактальный осциллятор Дуффинга, фазовые траектории, предельный цикл, хаотический аттрактор.

© Ким В. А., Паровик Р. И., 2018

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта президента РФ № МК-1152.2018.1 и по теме НИР КамГУ имени Витуса Беринга «Применение дробного исчисления в теории колебательных процессов» №АААА-А17-117031050058-9.

MATHEMATICAL MODELING OF DYNAMIC SYSTEMS

MSC 34A08, 34K28, 37N30

CALCULATION THE MAXIMUM LYAPUNOV EXPONENT FOR THE OSCILLATORY SYSTEM OF DUFFING WITH A DEGREE MEMORY 

V. A. Kim¹, R. I. Parovik¹²

¹Vitus Bering Kamchatka State University, 683032, Kamchatskiy kray, 4, Pogranichnaya Str., Russia Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia
²Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, 684034, Kamchatskiy kray, 7, Mirnaya Str., Paratunka, Russia

E-mail: valentinekim@mail.ru, romanparovik@gmail.com

In the study of nonlinear systems, one of the important problems is the determination of the type of oscillations-periodic, quasi-periodic, random, chaotic. It is especially difficult to distinguish between quasi-periodic oscillations from chaotic and random oscillations, since quasi-periodic oscillations often have a very complex shape, visually weakly distinguishable from «random». A feature of chaotic oscillations is their high sensitivity to small changes in the initial conditions. Therefore, one of the most reliable ways of detecting chaos is to determine the rate of run-off of trajectories, which is estimated using the Lyapunov exponent spectrum. Using the construction of the spectrum of Max Lyapunov exponents, depending on the values of the control parameters, chaotic regimes of the Duffing fractal oscillator with variable power memory were found, and its phase trajectories.

Key words: spectrum of maximum Lyapunov exponents, Duffing fractal oscillator, phase trajectories, limit cycle, chaotic attractor.

© Kim V. А., Parovik R. I., 2018

This work was supported by the grant of the President of the Russian Federation No. MK-1152.2018.1 and on the topic of the research of Vitus Bering Kamchatka State University «Application of fractional calculus in the theory of oscillatory processes»No.АААА-А17-117031050058-9.

Список литературы

  1. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Лекции по нелинейной динамике, Регулярная и хаотическая динамика, Ижевск, 2011, 516 с. [Anishchenko V. S., Vadivasova T. E., Lekcii po nelinejnoj dinamike, Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika, Izhevsk, 2011, 516 pp.]
  2. Tavazoei M. S., Haeri M., “Chaotic attractors in incommensurate fractional order systems”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 237:20 (2008), 2628–2637.
  3. Верисокин А. Ю., “Определение показателей Ляпунова на примере модели Селькова в присутствии внешней периодической силы”, Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета, 2013, №2(26), 18-29. [Verisokin A. YU., “Opredelenie pokazatelej Lyapunova na primere modeli Sel’kova v prisutstvii vneshnej periodicheskoj sily”, Uchenye zapiski. EHlektronnyj nauchnyj zhurnal Kurskogo gosudarstvennogo universiteta, 2013, №2(26), 18-29].
  4. Duffing G., “Elastizit at und Reibung beim Riementrieb”, Forschung auf dem Gebiet des Ingenieurwesens A, 2:3 (1931), 99–104.
  5. Паровик Р. И., “Дробное исчисление в теории колебательных систем”, Современные наукоемкие технологии, 2017, №1, 61-68. [Parovik R. I., “Drobnoe ischislenie v teorii kolebatel’nyh sistem”, Sovremennye naukoemkie tekhnologii, 2017, №1, 61-68].
  6. Drobysheva I.V., “Mathematical modeling of nonlinear hereditary oscillators on the example of Duffing oscillator with fractional derivatives in the sense of Riemann-Liouville”, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 13:2 (2016), 39-45.
  7. Kim V. A., “Duffing oscillator with external harmonic action and variable fractional Riemann-Liouville derivative characterizing viscous friction”, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 13:2 (2016), 46-49.
  8. Ким В. А., Паровик Р. И., “Математическая модель нелинейного осциллятора Дуффинга с памятью.”, Актуальные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения, Материалы Республиканской научной конференции с участием зарубежных ученых,
    2017, 253-254. [Kim V. A., Parovik R. I., “Matematicheskaya model’ nelinejnogo oscillyatora Duffinga s pamyat’yu.”, Aktual’nye problemy differencial’nyh uravnenij i ih prilozheniya, Materialy Respublikanskoj nauchnoj konferencii s uchastiem zarubezhnyh uchenyh, 2017, 253-254].
  9. Ким В.А., Паровик Р.И., “Хаотические режимы осциллятора Дуффинга с производной переменного дробного порядка Римана-Лиувилля”, Актуальные проблемы прикладной математики, Материалы IV Международной научной конференции, 2018, 121. [Kim V.A., Parovik R.I., “Haoticheskie rezhimy oscillyatora Duffinga s proizvodnoj peremennogo drobnogo poryadka Rimana-Liuvillya”, Aktual’nye problemy prikladnoj matematiki, Materialy IV Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii, 2018, 121].
  10. Ким В.А., Паровик Р.И., “Хаотические и регулярные режимы осциллятора Дуффинга с памятью”, Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий, Материалы Международной научно-практической конференции, 2018, 24-27. [Kim V.A., Parovik R.I., “Haoticheskie i regulyarnye rezhimy oscillyatora Duffinga
    s pamyat’yu”, Aktual’nye zadachi matematicheskogo modelirovaniya i informacionnyh tekhnologij, Materialy Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii, 2018, 24-27].
  11. Мейланов Р. П., Янполов М. С., “Особенности фазовой траектории фрактального осциллятора”, Письма в ЖТФ, 28:1 (2002), 67-73. [Mejlanov R. P., YAnpolov M. S., “Osobennosti fazovoj traektorii fraktal’nogo oscillyatora”, Pis’ma v ZHTF, 28:1 (2002), 67-73].
  12. Паровик Р. И., “Задача Коши для нелокального уравнения Матье”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 13:2 (2011), 90-98. [Parovik R. I., “Zadacha Koshi dlya nelokal’nogo uravneniya Mat’e”, Doklady Adygskoj (CHerkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 13:2 (2011), 90-98].
  13. Паровик Р. И., “Математическое моделирование эредитарного осциллятора”, Компьютерные исследования и моделирование, 7:5 (2015), 1001-1021. [Parovik R. I., “Matematicheskoe modelirovanie ehreditarnogo oscillyatora”, Komp’yuternye issledovaniya i modelirovanie, 7:5 (2015), 1001-1021].
  14. Паровик Р. И., Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов, КамГУ им. Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский, 2017, 135 с. [Parovik R. I., Matematicheskoe modelirovanie nelinejnyh ehreditarnyh oscillyatorov, KamGU im. Vitusa Beringa, Petropavlovsk-Kamchatskij, 2017, 135 pp.]
  15. Syta A., Litak G., Lenci S., Scheffler M., “Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping”, Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 24:1 (2014), 013107.
  16. Петухов А. А., Ревизников Д. Л., “Алгоритмы численных решений дробно-дифференциальных уравнений”, Вестник МАИ, 16:6 (2009), 228–243. [Petuhov A. A., Reviznikov D. L., “Algoritmy chislennyh reshenij drobno-differencial’nyh uravnenij”, Vestnik MAI, 16:6 (2009), 228–243].
  17. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M., “Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them, P. I: Theory. P. II: Numerical application”, Meccanica, 15 (1980), 9-30.
  18. Wolf A. et al., “Determining Lyapunov exponents from a time series”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 16:3 (1985), 285-317.
  19. Паровик Р. И., “Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван-дер-Поля”, Фундаментальные исследования, 2016, №3-2, 283-287. [Parovik R. I., “Ob issledovanii ustojchivosti ehreditarnogo oscillyatora Van-der-Polya”, Fundamental’nye issledovaniya, 2016, №3-2, 283-287].

Список литературы (ГОСТ)

  1. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е. Лекции по нелинейной динамике. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2011. 516 с.
  2. Tavazoei M. S., Haeri M. Chaotic attractors in incommensurate fractional order systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2008. Vol. 237, no. 20. P. 2628–2637.
  3. Верисокин А.Ю. Определение показателей Ляпунова на примере модели Селькова в присутствии внешней периодической силы // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2013. № 2 (26). С. 18-29.
  4. Duffing G. Elastizit at und Reibung beim Riementrieb // Forschung auf dem Gebiet des Ingenieurwesens A. 1931. Vol. 2, no. 3. P. 99–104.
  5. Паровик Р.И. Дробное исчисление в теории колебательных систем // Современные наукоемкие технологии. 2017. № 1. С. 61-68.
  6. Drobysheva I.V. Mathematical modeling of nonlinear hereditary oscillators on the example of Duffing oscillator with fractional derivatives in the sense of Riemann-Liouville // Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. 2016. Т. 13. № 2. С. 39-45.
  7. Kim V.A. Duffing oscillator with external harmonic action and variable fractional Riemann-Liouville derivative characterizing viscous friction // Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. 2016. Т. 13. № 2. С. 46-49.
  8. Ким В.А., Паровик Р.И. Математическая модель нелинейного осциллятора Дуффинга с памятью. Актуальные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения Материалы Республиканской научной конференции с участием зарубежных ученых.
    2017. С. 253-254.
  9. Ким В.А., Паровик Р.И. Хаотические режимы осциллятора Дуффинга с производной переменного дробного порядка Римана-Лиувилля. Актуальные проблемы прикладной математики Материалы IV Международной научной конференции. 2018. С. 121.
  10. Ким В.А., Паровик Р.И. Хаотические и регулярные режимы осциллятора Дуффинга с памятью. Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий Материалы Международной научно-практической конференции. 2018. С. 24-27.
  11. Мейланов Р. П., Янполов М. С. Особенности фазовой траектории фрактального осциллятора // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, № 1. С. 67-73.
  12. Паровик Р.И. Задача Коши для нелокального уравнения Матье // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13. № 2. С. 90-98.
  13. Паровик Р.И. Математическое моделирование эредитарного осциллятора // Компьютерные исследования и моделирование. 2015. Т. 7. № 5. С. 1001-1021.
  14. Паровик Р.И. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2017. 135 c
  15. Syta A., Litak G., Lenci S., Scheffler M. Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping//Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2014. Т. 24. №1. 013107.
  16. Петухов А. А., Ревизников Д. Л. Алгоритмы численных решений дробно-дифференциальных уравнений//Вестник МАИ. 2009. Т. 16. №6. С. 228–243.
  17. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M., Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them, P. I: Theory. P. II: Numerical application // Meccanica. 1980. V. 15. p. 9-30.
  18. Wolf A. et al. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1985. vol. 16. no. 3. pp. 285-317.
  19. Паровик Р.И. Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван-дер-Поля // Фундаментальные исследования. 2016. № 3-2. С. 283-287.

Для цитирования: Ким В. А., Паровик Р. И. Расчет максимальных показателей Ляпунова для колебательной системы Дуффинга со степенной памятью // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 98-105. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-98-105.
For citation: Kim V. А., Parovik R. I. Calculation the maximum Lyapunov exponent for the oscillatory system of Duffing with a degree memory, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 23: 3, 98-105. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-98-105.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 10.06.2018

Kim  Ким Валентин Александрович – магистрант второго курса, направление подготовки «Прикладная математика и информатика», Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, Россия.
  Kim Valentin Aleksandrovich – second-year undergraduate training direction «Applied Mathematics and Informatics», Kamchatka Vitus Bering State University, Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia.

1

1

Par  Паровик Роман Иванович – кандидат физико-математических наук, доцент, декан физико-математического факультета, Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга, старший научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов Института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Камчатский край, Паратунка, Россия, ORCID 0000-0002-1576-1860.
  Parovik Roman Ivanovich – Ph.D. (Phys. & Math.), Associate Professor, Dean of the Fac. of Phys. & Math., Vitus Bering Kamchatka State University, Senior Researcher of the Phys. Proc. Modeling Lab. of the Institute of Cosmophysical Research and Propagation of Radio Waves, FEB RAS, Russia, ORCID 0000-0002-1576-1860.

1

1

Скачать статью Кима В.А., Паровика Р.И.