Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 78-92. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-78-92

ИНФОРМАЦИОННЫЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 51-7:519.63:519.614

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРЯМЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ВТОРОГО И ПЕРВОГО РОДОВ

И. К. Каримов¹, И. К. Хужаев², Ж.И. Хужаев²

¹Камчатский государственный технический университет, 683003 Россия, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Ключевская, 35
²Научно-инновационный центр информационно-коммуникационных технологий при Ташкентском университете информационных технологий имени Мухаммада Ал-Хорезми, 100084 Узбекистан, г. Ташкент, пр. Амира Темура, 108

E-mail: karimov_ik@kamchatgtu.ru, i_k_hujayev@mail.ru, jamolhoja@mail.ru

В статье описан алгоритм решения одномерного неоднородного параболического уравнения при граничных условиях второго рода в начале и первого рода в конце отрезка. Введением сетки по координате, функций, участвующих в начальном и граничных условиях, составлено матричное уравнение относительно сеточных функций. Успехом работы является формирование фундаментальной и диагональной матриц, с помощью которых из матричного уравнения осуществляется переход к отдельным обыкновенным уравнениям относительно сеточных функций. Представлены формулы прямого и обратного перехода от искомой и вновь образованной функций. Полученные обыкновенные дифференциальные уравнения допускают точного и приближенного метода решения. Результаты полезны при решении одно- и многомерных уравнений параболического, эллиптического и гиперболического типов при смешанных граничных условиях второго и первого родов.

Ключевые слова: уравнения в частных производных, метод прямых, краевые условия, аппроксимация, алгоритм, вычислительный эксперимент.

INFORMATION AND COMPUTER TECHNOLOGIES

MSC 35K10

APPLICATION OF THE METHOD OF LINES FOR SOLVING ONE-DIMENSIONAL EQUATION OF PARABOLIC TYPE UNDER THE BOUBDARY CONDITIONS OF THE SECOND AND FIRS GENERA

I. K. Karimov¹, I. Q. Khujaev², J. I. Khujaev²

¹Kamchatka State Technical University, 683003 35, Klyuchevskaya Str., Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia
²Science and innovation center for information and communication technologies under Tashkent university of information technologies named after Muhammad Al-Khwarizmi, 100084 108, Amir Temur Str., Tashkent, Uzbekistan

E-mail: karimov_ik@kamchatgtu.ru, i_k_hujayev@mail.ru, jamolhoja@mail.ru

In the article an algorithm for solving a one-dimensional inhomogeneous parabolic equation is described under boundary conditions of the second kind at the beginning and of the first kind at the end of the interval. By introduction of a grid with respect to the coordinate of the functions involved in the initial and boundary conditions, a matrix equation is built with respect to the grid function. The success of the work is the formation of fundamental and diagonal matrices, with the help of which a transition to individual ordinary equations with respect to the grid functions is carried out from the matrix equation. Formulas for the direct and inverse transition from the desired and newly formed functions are presented. The obtained ordinary differential equations admit an exact and approximate method of solution. The results are useful in solving one and many-dimensional equations of parabolic, elliptic and hyperbolic types under mixed boundary conditions of the second and first genera.

Key words: partial differential equation, method of lines, boundary conditions, approximation, algorithm, computational experiment.

 

References

  1. Самарский А. А., Теория разностных схем, Наука, М., 1977, 656 с. [Samarskiy A. A., Teoriya raznostnykh skhem, Nauka, Moscow, 1977, 656 pp.]
  2. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Вычислительная теплопередача, Едиториал УРСС, М., 2003, 784 с. [Samarskiy A. A., Vabishchevich P. N., Vychislitel’naya teploperedacha, Editorial URSS, Moscow, 2003, 784 pp.]
  3. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А., Численное моделирование процессов тепло- и массообмена, Наука, М., 1984, 288 с. [Paskonov V. M., Polezhaev V. I., Chudov L. A., Chislennoe modelirovanie protsessov teplo- i massoobmena, Nauka, Moscow, 1984, 288 s. pp.]
  4. Марчук Г. И., Методы вычислительной математики, Наука, М., 1977, 456 с. [Marchuk G. I., Metody vychislitel’noy matematiki, Moscow, Nauka, 1977, 456 pp.]
  5. Каримбердиева С., Численные методы решения дифференциально-разностных уравнений в параллелепипеде, шаре и цилиндре, Фан, Ташкент, 1983, 112 с. [Karimberdieva S., Chislennye metody resheniya differentsial’no-raznostnykh uravneniy v parallelepipede, share i tsilindre, Fan, Tashkent, 1983, 112 pp.]
  6. Фаддеева В. Н., “Метод прямых в применении к некоторым краевым задачам”, Труды МИ АН СССР, 28 (1949), 73–103. [Faddeeva V. N., “Metod pryamykh v primenenii k nekotorym kraevym zadacham”, Trudy MI AN SSSR, 28 (1949), 73–103].
  7. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, Физматгиз, М., 1963, 472 с. [Faddeev D. K., Faddeeva V. N., Vychislitel’nye metody lineynoy algebry, Fizmatgiz, Moscow, 1963, 472 pp.]
  8. Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, Наука, М., 1971, 272 с. [Gel’fand I. M., Lektsii po lineynoy algebre, Nauka, Moscow, 1971, 272 pp.]
  9. Копчёнова Н. В., Марон И. А., Вычислительная математика в примерах и задачах, Наука, М., 1972, 368 с. [Kopchenova N.V., Maron I. A., Vychislitel’naya matematika v primerakh i zadachakh, Nauka, Moscow, 1972, 368 pp.]
  10. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н., Сборник задач по математической физике, Наука, М., 1972, 688 с. [Budak B. M., Samarskiy A. A., Tikhonov A. N., Sbornik zadach po matematicheskoy fizike, Nauka, Moscow, 1972, 688 pp.]

References (GOST)

  1. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
  2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.
  3. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло-и массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.
  4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 456 с.
  5. Каримбердиева С. Численные методы решения дифференциально-разностных уравнений в параллелепипеде, шаре и цилиндре. Ташкент: Фан, 1983. 112 с.
  6. Фаддеева В.Н. Метод прямых в применении к некоторым краевым задачам. Тр. МИ АН СССР, 1949. T. 28. С. 73-103.
  7. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963.
  8. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре (изд. 4-е дополн.). М.: Наука, 1971. 272 с.
  9. Копчёнова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972. 368 с.
  10. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972. 688 с.

Для цитирования: Каримов И. К., Хужаев И. К., Хужаев Ж. И. Применение метода прямых при решении одномерного уравнения параболического типа при граничных условиях первого и второго родов // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 78-92. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-78-92
For citation: Karimov I. K., Khujaev I. Q., Khujaev J. I. Application of the method of lines for solving one-dimensional equation of parabolic type under the boubdary conditions of the second and firs genera, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 21: 1, 78-92. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-78-92

Поступила в редакцию / Original article submitted: 30.11.2017

В окончательном варианте / Revision submitted: 30.01.2018

Kar  Каримов Ибрагим Каримович – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, заведующий кафедрой систем управления, Камчатский государственный технический университет, г. Петропавловск-Камчатский, Россия
  Karimov Ibrahim Karimovich – PhD (Tech), Senior Researcher, Head of the Department of Control Systems, Kamchatka State Technical University, Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia.

1

1

Khu1   Хужаев Исматулла Кушаевич – доктор технических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник Научно-инновационного центра информационно коммуникационных технологий при Ташкентском университете информационных технологий имени Мухаммада аль-Хоразмий, Ташкент, Республика Узбекистан.
    Khujaev Ismatulla Qushayevich – Dr. Sci. (Tech), senior scientific researcher, leading scientific researcher of Scientific and innovation center of information and communication technologies at the Tashkent University of Information Technologies named after Mukhammad Al-Khorezmi, Tashkent, Republic of Uzbekistan.

1

1

Khu2   Хужаев Жамол Исматуллаевич – младший научный сотрудник Научно-инновационного центра информационно коммуникационных технологий при Ташкентском университете информационных технологий имени Мухаммада аль-Хоразмий. Ташкент, Узбекистан.
      Khujaev Jamol Ismatullayevich  – junior scientific researcher of Scientific and innovation center of information and communication technologies at the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad Al-Khorezmi, Tashkent, Uzbekistan.

1

1

 Скачать статью  И. К. Каримов, И. К. Хужаев, Ж.И. Хужаев