Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 32-47. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-32-47

MSC 33C20, 35A08

SOME PROPERTIES OF HORN TYPE SECOND ORDER DOUBLE HYPERGEOMETRIC SERIES

Anvar Hasanov¹, Maged G. Bin Saad², Ainur Ryskan³

¹Institute of Mathematics, 81 Mirzo-Ulugbek Street, Tashkent 700170, Uzbekistan
²Department of Mathematics, Aden University, Aden, Kohrmakssar, P.O.Box 6014, Yemen
³Institute of Mathematics, Physics and Computer science, KazNPU named after Abai, 86 Tole bi street, Almaty 0500012, Kazakhstan

E-mail: anvarhasanov@yahoo.com

Horn [1931, Hypergeometrische Funktionen zweier Veranderlichen, Math. Ann.,105(1), 381-407], (corrections in Borngasser [1933, Uber hypergeometrische funkionen zweier Veranderlichen, Dissertation, Darmstadt], defined and investigated ten second order hypergeometric series of two variables). In the course of further investigation of Horn’s series, we noticed the existence of hypergeometric double series H*2 analogous to Horn’s double series H*2. The principal object of this paper is to present a natural further step toward the mathematical properties and presentations concerning the analogous hypergeometric double series H*2 Indeed, motivated by the important role of the Horn’s functions in several diverse fields of physics and the contributions toward the unification and generalization of the hyper-geometric functions, we establish a system of partial differential equations, integral representations, expansions, analytic continuation, transformation formulas and generating relations. Also, we discuss the links for the various results, which are presented in this
paper, with known results.

Key words: Gauss hypergeometric function, Horn double series, partial differential equations, integral representations, transformation, generating functions.

УДК 517.58

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА ГОРНА ВТОРОГО ПОРЯДКА

А. Хасанов¹, М. Г. Б. Саад², А. Рыскан³

¹Институт математики, г. Ташкент, ул. Мирзо Улугбека, 8, 700170, Узбекистан
²Отдел математики, Аденский университет, г. Аден, Кохрмакссар, 6014, Йемен
³Институт математики, физики и компьютерных наук, КазНПУ имени Абая, Алматы, ул. Толе би, 86, 0500012, Казахстан

E-mail: anvarhasanov@yahoo.com.

В работах Горн [1931, Hypergeometrische Funktionen zweier Veranderlichen, Math. Ann., 105 (1), 381-407], (исправления в книге Борнгассера [1933, Uber hypergeometrische funkionen zweier Veranderlichen, Диссертация, Дармштадт]) были определены и исследованы десять гипергеометрических рядов двух переменных второго порядка. Исследуя ряды Горна, мы заметили существование гипергеометрических двойных рядов H*2 , аналогичных двойному ряду Горна H*2. Основная цель настоящей статьи это представить дальнейшие шаги исследования математических свойств и представлений, относительно аналогичных гипергеометрических двойных рядов H*2. Действительно, воодушевленные важной ролью функций Горна в нескольких разнообразных областях физики и вкладом в унификацию и обобщение гипергеометрических функций, мы составляем систему уравнений в частных производных, интегральные представления, формул разложения, аналитическое продолжение, формулы преобразования. А также обсуждаются связи результатов, представленные в этой статье с уже известными.

Ключевые слова: гипергеометрическая функция Гаусса, двойные ряды Хорна, уравнения в частных производных, интегральные представления, преобразование, производящие функции

References

  1. Aomoto K., “On the structure of integrals of power products of linear functions”, Sci. Papers, Coll. Gen. Education, Univ. Tokyo, 27 (1977), 49–61.
  2. Appell P., Kampe de Feriet J., Fonctions Hypergeometriques et Hyperspheriques: Polynomes d’Hermite, Gauthier-Villars, Paris, France, 1926.
  3. Borngasser L., Uber hypergeometrische funkionen zweier Veranderlichen, Dissertation, Darmstadt, 1933.
  4. Choi J., Hasanov A., “Applications of the operator H(a,b) to the Humbert double Hypergeometric functions”, Comput. Math. Appl., 61 (2011), 663-671.
  5. Carlson B. C., “Appell’s function F4 as a double average”, SIAM J. Math. Anal., 6 (1975), 960-965.
  6. Carlson B. C., “The need of a new classification of double hypergeometric series”, Proc. Amer. Math. Soc., 56 (1976), 221-224.
  7. Erdelyi A., “Transformations of hypergeometric functions of two variables”, Proc. Roy. Soc. Edinburg Sect. A, 62 (1948), 378-385.
  8. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G., Higher transcendental functions. V. I, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1953.
  9. Exton H., Multiple hypergeometric functions and applications, Ellis Horwood Ltd., Chichester, New York, 1976.
  10. Gelfand I. M., Gelfand S. I., “Generalized hypergeometric functions”, Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 228 (2) (1986), 279-283.
  11. Heckman G. J., Opdam E. M., “Root systems and hypergeometric functions I”, Comp. Math., 64 (1987), 329-352
  12. Horn J., “Hypergeometrische Funktionen zweier Vernderlichen”, Math. Ann., 105(1) (1931), 381-407.
  13. Horn J., “Uber die convergenz der hypergeometrischen reihen zweier und dreier Veranderlichen”, Math.Ann., 34 (1889), 544-600.
  14. Horn J., “Hypergeometrische Funktionen zweier veranderlichen”, Math. Ann., III (1935), 638-677.
  15. Miller K.S., Ross B., An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1993.
  16. Srivastava H.M., Choi J., Series Associated with the Zeta and Related Functions, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston and London, 2001.
  17. Srivastava, H. M., Karlsson, Per W., Multiple Gaussian hypergeometric series, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Ellis Horwood Ltd., Chichester, 1985.
  18. Srivastava, H. M., Manocha, H. L., A treatise on generating functions, Halsted Press, New York, Brisbane and Toronto, 1984.

 

References (GOST)

  1. Aomoto K. On the structure of integrals of power products of linear functions, Sci. Papers, Coll. Gen. Education, Univ. Tokyo 27, 1977, pp. 49–61.
  2. P. Appell and J. Kampe de Feriet. Fonctions Hypergeometriques et Hyperspheriques: Polynomes d’Hermite, Gauthier-Villars, Paris, France. 1926
  3. Borngasser, L. Uber hypergeometrische funkionen zweier Veranderlichen, Dissertation, Darmstadt. 1933.
  4. Choi J. and Hasanov A. Applications of the operator H(a,b) to the Humbert double Hypergeometric functions, Comput. Math. Appl. 61, 2011, pp. 663-671.
  5. Carlson B. C. Appell’s function F4 as a double average, SIAM J. Math. Anal. 6, 1975, pp. 960-965.
  6. Carlson B. C. The need of a new classification of double hypergeometric series, Proc. Amer. Math. Soc. 56, 1976, pp. 221-224.
  7. Erdelyi A. Transformations of hypergeometric functions of two variables Proc. Roy. Soc. Edinburg Sect. A 62, 1948, pp. 378-385.
  8. Erdelyi A.; Magnus W.; Oberhettinger F.; Tricomi F. G. Higher transcendental functions Vol. I., McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London. 1953.
  9. Exton H. Multiple hypergeometric functions and applications, Ellis Horwood Ltd., Chichester, New York. 1976.
  10. Gelfand I. M. and Gelfand S. I. (1986) Generalized hypergeometric functions, Dokl. Akad. Nauk. SSSR 228 (2), 1986, pp. 279-283.
  11. Heckman G. J. and Opdam E. M. Root systems and hypergeometric functions I, Comp. Math. 64, 1987, pp. 329-352.
  12. Horn J. Hypergeometrische Funktionen zweier Ver?nderlichen, Math. Ann., 105(1), 1931, pp. 381-407.
  13. Horn J. Uber die convergenz der hypergeometrischen reihen zweier und dreier Veranderlichen, Math.Ann., 34, 1889, pp. 544-600.
  14. Horn J. Hypergeometrische Funktionen zweier veranderlichen, Math.Ann. III, 1935, pp. 638-677.
  15. Miller K.S. and Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley and Sons, Inc., New York. 1993.
  16. Srivastava H.M. and Choi J. Series Associated with the Zeta and Related Functions. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston and London. 2001.
  17. Srivastava, H. M.; Karlsson, Per W. Multiple Gaussian hypergeometric series, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd. 1985.
  18. Srivastava, H. M. and Manocha, H. L. A treatise on generating functions, Halsted Press, New York, Brisbane and Toronto. 1984.

Для цитирования: Hasanov A., Saad M. G. B., Ryskan A. Some properties of Horn type second order double hypergeometric series // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 32-47. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-32-47

For citation: Hasanov A., Saad M. G. B., Ryskan A. Some properties of Horn type second order double hypergeometric series, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 21: 1, 32-47. DOI:10.18454/2079-6641-2018-21-1-32-47

Поступила в редакцию / Original article submitted: 09.02.2018

В окончательном варианте / Revision submitted: 14.03.2018


has

 Хасанов Анвар – доктор физико-математических наук, профессор, старший научный сотрудник, Институт математики имени В.И. Романовского, г. Ташкент, Республика Узбекистан.
  Hasanov Anvar – Dr. Sci. (Math. & Phys.), Professor, Senior Researcher, Institute of Mathematics named after V.I. Romanovsky, Tashkent, Republic of Uzbekistan.

1

1

1

1


saad Саад Магид Бин – доктор физико-математических наук, профессор, старший научный сотрудник кафедры математики, специальных функций и фрактального исчисления, Аденский университет, г. Аден, Хормаксар, Йеменская Республика.
  Saad Maged G. Bin – Dr. Sci. (Math. & Phys.), Professor, Senior Researcher of Department of Mathematics, Special functions and Fractional calculus, Aden University, Aden, Khormaksar, Yemen

1

1

 


rys Рыскан Айнур – аспирант, институт математики, физики и информатики, Казахский национальный педагогический университет имени Абая, г. Алматы, Республика Казахстан.
 Ryskan Ainur – Ph.D. student, Institute of Mathematics, Physics and Informatics, Kazakh National Pedagogical University named after Abay, Almaty, Republic of Kazakhstan.

1

1

1


Скачать статью Anvar Hasanov, Maged G. Bin Saad, Ainur Ryskan