Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 19-27. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-19-27

МАТЕМАТИКА

УДК 517.984.5

ЗАДАЧА ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

A. Х. Аттаев

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А

E-mail: attaev.anatoly@yandex.ru

В работе изучается задача граничного управления для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка. Установлены необходимые и достаточные условия управляемости данными Коши за минимальный промежуток времени. Граничные управления предъявлены в явном аналитическом виде.

Ключевые слова: управление распределенными системами, вырождающиеся гиперболические уравнения, характеристики уравнения, данные Коши, регулярное решение, задача граничного управления.

© Аттаев А. Х., 2019

MATHEMATICS

MSC 35L10

BOUNDARY CONTROL PROBLEM FOR ONE DEGENERATE HIBERBOLIC EQUATION

Attaev A. Kh.

Institute of Applied Mathematics and Automation, 89А Shortanova St., Nalchik, 360000, Russia

E-mail: attaev.anatoly@yandex.ru

The paper studies the boundary control problem for a degenerate second-order hyperbolic equation. Necessary and sufficient conditions are established for minimal time controllability over Cauchy data. Boundary controls are presented in an explicit analytical form.

Key words: distributed system control, degenerate hyperbolic equations, equation characteristics, data Cauchy, regular solution, boundary control problem.

© Attaev, A. Kh., 2019

Список литературы/References

  1. Бутковский А.Х., Методы управления системами с распределенными параметрами, Наука, М., 1975, 568 с. [Butkovskij A.H., Metody upravleniya sistemami s raspredelennymi parametrami, Nauka, M., 1975, 568 pp., (in Russian)].
  2. Бутковский А.Х., Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, Наука, М., 1965, 474 с. [Butkovskij A.H., Teoriya optimal’nogo upravleniya sistemami s raspredelennymi parametrami, Nauka, M., 1965, 474 pp., (in Russian)].
  3. Лионс Ж.Л., Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, Мир, М., 1972, 415 с. [Lions ZH.L., Optimal’noe upravlenie sistemami, opisyvaemymi uravneniyami s chastnymi proizvodnymi, Mir, M., 1972, 415 pp., (in Russian)].
  4. Butkovskii A. G., Poltavskii L. N., “Optimal control of two-dimensional distributed oscillating system”, Avtomat. i Telemekh., 1996, №4, 32–41.
  5. Butkovskii A. G., Poltavskii L. N., “Optimal control of wave processes”, Avtomat. i Telemekh., 1966, №9, 48–53.
  6. Vasil’ev F. P., “On duality in linear problems of control and observation”, Differ. Equ., 11:31 (1995), 1893–1900.
  7. Ильин В.А., Тихомиров В.В., “Волновое уравнение с граничным управлением на двух конйах и задача о полном успокоении колебательного процесса”, Дифференц. уравнения., 35:5 (1999), 692–704. [Il’in V.A., Tikhomirov V.V., “The wave equation with boundary control at two ends and the problem of the complete damping of a vibration process”, Differ. Equ., 35:5 (1999), 697–708, (in Russian)].
  8. Ильин В.А., “Граничное управление процессом колебаний на одном конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией”, Дифференц. уравнения, 36:12 (2000), 1670–1686. [Il’in V.A., “Boundary Control of Oscillations at One Endpoint with the Other Endpoint Fixed in Terms of a Finite-Energy Generalized Solution of the Wave Equation”, Differ. Equ., 36:12 (2000), 1832–1849, (in Russian)].
  9. Ильин В.А., “Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени”, Дифференц. уравнения, 35:11 (1999), 1517–1534. [Il’in V.A., “A wave equation with a bounded control on two ends for an arbitrary time interval”, Differ. Equ., 35:11 (1999), 1532–1552, (in Russian)].
  10. Ильин В.А., Моисеев Е.И., “О граничном управлении процессом, описываемым телеграфным уравнением”, Доклады Академии Наук, 387:5 (2002), 600–603. [Il’in V.A. , Moiseev E.I., “Boundary control at one endpoint of a process described by a telegraph equation”, Dokl. Akad. Nauk, 387:5 (2002), 600–603, (in Russian)].
  11. Абдукаримов М. Ф., Крицков Л. В., “Граничное управление смещением на одном конце при свободном втором для процесса, описываемого телеграфным уравнением с переменными коэффициентами”, Доклады Академии Наук, 450:6 (2013), 640–643.[Abdukarimov M. F., Kritskov L. V., “Boundary control of the displacement at one end with the other end free for a process described by the telegraph equation with a variable coefficient”, Doklady Mathematics, 87:3 (2013), 351–353, (in Russian)].
  12. Attaev A. Kh., “Boundary control by displacement at one and of string and the integral condition on the other”, International conference «Functional analysis in interdisciplinary applications (FAIA), 2017.
  13. Аттаев А.Х, “Задача граничного управления для существенно нагруженного уравнения колебания струны”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 13:1 (2011), 30–35. [Attaev A.H, “Zadacha granichnogo kpravleniya dlya sushchestvenno nagruzhennogo uravneniya kolebaniya struny”, Doklady Adygskoj (Cherkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 13:1 (2011), 30–35, (in Russian)].
  14. Смирнов М.М., Вырождающиеся гиперболические уравнения, Вышэйшая школа, Минск, 1977, 160 с. [Smirnov M.M., Vyrozhdayushchiesya giperbolicheskie uravneniya, Vyshejshaya shkola, Minsk, 1977, 160 pp., (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

  1. Бутковский А.Х. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 c.
  2. Бутковский А.Х. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 474 c.
  3. Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 415 c.
  4. Butkovskii A. G., Poltavskii L. N. Optimal control of two-dimensional distributed oscillating system // Avtomat. i Telemekh. 1996. no. 4. pp. 32–41.
  5. Butkovskii A. G., Poltavskii L. N. Optimal control of wave processes // Avtomat. i Telemekh. 1966. no. 9. pp. 48–53.
  6. Vasil’ev F. P. On duality in linear problems of control and observation // Differ. Equ. 1995. vol. 11. no. 31. pp. 1893–1900.
  7. Ильин В. А., Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух конйах и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. №5. С. 692–704.
  8. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №12. С. 1670–1686.
  9. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 11. С. 1517–1534.
  10. Ильин В. А., Моисеев Е. И. О граничном управлении процессом, описываемым телеграфным уравнением // Доклады Академии Наук. 2002. Т. 387. №5. С. 600–603.
  11. Абдукаримов М. Ф., Крицков Л. В. Граничное управление смещением на одном конце при свободном втором для процесса, описываемого телеграфным уравнением с переменными коэффициентами // Доклады Академии Наук. 2013. Т. 450. №6. С. 640–643.
  12. Attaev A. Kh. Boundary control by displacement at one and of string and the integral condition on the other // International conference «Functional analysis in interdisciplinary applications (FAIA). 2017. Astana
  13. Аттаев А. Х. Задача граничного управления для существенно нагруженного уравнения колебания струны // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13. №1. С. 30–35.
  14. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977. 160 c.

Для цитирования: Аттаев А. Х. Задача граничного управления для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 29. № 4. C. 19-27. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-19-27
For citation: Attaev A. Kh. Boundary control problem for one degenerate hiberbolic equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 29: 4, 19-27. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-29-4-19-27

Поступила в редакцию / Original article submitted: 17.11.2019

 

Аттаев Анатолий Хусеевич – кандидат физико-математических наук, заведующий отделом Систем автоматизированного проектирования смешанных систем и управления, Институт прикладной математики и автоматизации, Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, Россия.
Attaev Anatolii Huseevich – Ph.D. (Phys. & Math.), Head of Dep., Systems aided design and management of mixed systems, Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkar Republic, Nalchik, Russia.

 

Читать статью/Read articleСкачать/Download